Геометрия 1) Смежные углы относятся как 5 : 13. Найдите эти углы.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Геометрия

1. Смежные углы относятся как 5 : 13. Найдите эти углы.

2. Смежные углы равны $(5x + 6)^\circ$ и $(x + 18)^\circ$. Найдите x и величину каждого угла.

3. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен $58^\circ$. Найдите остальные три угла.

4. Сумма двух вертикальных углов равна $204^\circ$. Найдите все углы, образованные при пересечении прямых.

5. Сумма трёх углов, образованных при пересечении двух прямых, равна $305^\circ$. Найдите все четыре угла.

6. Лучи ОА и ОВ перпендикулярны. Луч ОС не лежит внутри угла АОВ, $\angle ВОС = 29^\circ$. Найдите угол АОС.

Answer

Краткие ответы

1. $50^\circ$ и $130^\circ$.

2. $x=26$; углы $136^\circ$ и $44^\circ$.

3. Два угла по $58^\circ$ и два по $122^\circ$. Остальные три: $122^\circ,\ 58^\circ,\ 122^\circ$.

4. Два угла по $102^\circ$ и два по $78^\circ$.

5. Два угла по $55^\circ$ и два по $125^\circ$.

6. $\angle AOC=119^\circ$.

Как решать и почему

Главные факты для двух пересекающихся прямых:

вертикальные углы равны;

смежные углы в сумме дают $180^\circ$;

все четыре угла вместе дают $360^\circ$.

1. Смежные углы относятся как $5:13$. Пусть одна часть равна $k$:
$$
5k+13k=180^\circ,\qquad 18k=180^\circ,\qquad k=10^\circ.
$$
Значит, углы равны $50^\circ$ и $130^\circ$. Проверка: $50+130=180$.

2. Смежные углы в сумме дают $180^\circ$:
$$
(5x+6)+(x+18)=180.
$$
$$
6x+24=180,\qquad 6x=156,\qquad x=26.
$$
Тогда:
$$
5x+6=5\cdot 26+6=136^\circ,
$$
$$
x+18=26+18=44^\circ.
$$
Проверка: $136+44=180$.

3. Один угол равен $58^\circ$. Вертикальный ему тоже $58^\circ$. Смежный с ним:
$$
180^\circ-58^\circ=122^\circ.
$$
Значит, при пересечении прямых получились углы $58^\circ,122^\circ,58^\circ,122^\circ$.

4. Вертикальные углы равны, а их сумма $204^\circ$. Значит, каждый из них:
$$
204^\circ:2=102^\circ.
$$
Смежный с ними угол:
$$
180^\circ-102^\circ=78^\circ.
$$
Все углы: $102^\circ,78^\circ,102^\circ,78^\circ$.

5. Сумма всех четырёх углов $360^\circ$. Один угол не вошёл в сумму трёх:
$$
360^\circ-305^\circ=55^\circ.
$$
Вертикальный ему тоже $55^\circ$, а смежный:
$$
180^\circ-55^\circ=125^\circ.
$$
Получаем $55^\circ,125^\circ,55^\circ,125^\circ$. Проверка:
$$
55+125+125=305^\circ.
$$

6. Так как $OA\perp OB$, то
$$
\angle AOB=90^\circ.
$$
Луч $OC$ не лежит внутри угла $AOB$, поэтому он идёт с внешней стороны от $OB$. Тогда угол $AOC$ складывается из $90^\circ$ и $29^\circ$:
$$
\angle AOC=90^\circ+29^\circ=119^\circ.
$$
Вариант $90^\circ-29^\circ=61^\circ$ не подходит: он был бы, если бы $OC$ лежал внутри угла $AOB$, а это запрещено условием.