Реши второй вариант

Краткие ответы (вариант 2)

1. а) \(4ab^3\); б) \(\dfrac{m-n}{3}\)
2. а) \(\dfrac{9}{y}\); б) \(\dfrac{(x+4)(x+2)}{x(x-2)^2}\)
3. \(y=\dfrac{10}{x}\) — гипербола с ветвями в I и III четвертях
4. а) \(\dfrac{x+y}{x}\); б) \(\dfrac{4x(x-3)}{(x-5)^2}\)
5. \(\dfrac{x+y}{y}\)

1. Умножение дробей

Правило: \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\). Главное — сначала разложить всё на множители, потом сокращать.

а) \[ \frac{a^2}{6b^3}\cdot\frac{24b^6}{a}=\frac{a^2\cdot 24b^6}{6b^3\cdot a}=\frac{24}{6}\cdot\frac{a^2}{a}\cdot\frac{b^6}{b^3}=4ab^3 \]

б) Раскладываем: \(3m-9n=3(m-3n)\), \(m^2-n^2=(m-n)(m+n)\): \[ \frac{m-3n}{m+n}\cdot\frac{(m-n)(m+n)}{3(m-3n)}=\frac{m-n}{3} \] Сократились \(m-3n\) и \(m+n\). (Ограничения: \(m\neq -n\), \(m\neq 3n\).)

2. Деление дробей

Правило: деление заменяем умножением на обратную дробь.

а) \[ 21x^3y:\frac{7x^3y^2}{3}=21x^3y\cdot\frac{3}{7x^3y^2}=\frac{63x^3y}{7x^3y^2}=\frac{9}{y} \]

б) \[ \frac{x^2-16}{x^2-4x+4}:\frac{x^2-4x}{x+2} =\frac{(x-4)(x+4)}{(x-2)^2}\cdot\frac{x+2}{x(x-4)} =\frac{(x+4)(x+2)}{x(x-2)^2} \] Ограничения: \(x\neq 0;\ 2;\ 4\).

3. График \(y=\frac{10}{x}\)

Обратная пропорциональность — гипербола. Составим таблицу:

Ветвь в I четверти проходит через \((1;10),(2;5),(5;2),(10;1)\), ветвь в III — через \((-1;-10),(-2;-5),(-5;-2),(-10;-1)\). Оси координат — асимптоты: график к ним приближается, но не пересекает.

4. Действия с дробями

а) Сначала скобка — общий знаменатель \(x(x+y)\): \[ \frac{9y}{x}-\frac{9y}{x+y}=\frac{9y(x+y)-9yx}{x(x+y)}=\frac{9y^2}{x(x+y)} \] Квадрат: \(\left(\frac{x+y}{3y}\right)^2=\frac{(x+y)^2}{9y^2}\). Тогда \[ \frac{9y^2}{x(x+y)}\cdot\frac{(x+y)^2}{9y^2}=\frac{x+y}{x} \]

б) Приводим каждую скобку к общему знаменателю \(x-2\): \[ 4x-\frac{4x}{x-2}=\frac{4x(x-2)-4x}{x-2}=\frac{4x^2-12x}{x-2}=\frac{4x(x-3)}{x-2} \] \[ x-\frac{8x-25}{x-2}=\frac{x(x-2)-(8x-25)}{x-2}=\frac{x^2-10x+25}{x-2}=\frac{(x-5)^2}{x-2} \] Делим (умножаем на обратную): \[ \frac{4x(x-3)}{x-2}\cdot\frac{x-2}{(x-5)^2}=\frac{4x(x-3)}{(x-5)^2},\quad x\neq 2;\ 5 \]

5. Упрощение «многоэтажной» дроби

Отдельно считаем числитель и знаменатель: \[ \frac{y-2x}{x}+3=\frac{y-2x+3x}{x}=\frac{x+y}{x},\qquad \frac{y+3x}{x}-3=\frac{y+3x-3x}{x}=\frac{y}{x} \] Делим: \[ \frac{\frac{x+y}{x}}{\frac{y}{x}}=\frac{x+y}{x}\cdot\frac{x}{y}=\frac{x+y}{y},\quad x\neq0,\ y\neq0 \]

Проверка (№5): при \(x=1,\ y=2\): числитель \(\frac{2-2}{1}+3=3\), знаменатель \(\frac{2+3}{1}-3=2\), то есть \(\frac{3}{2}\). По ответу \(\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}\) — совпало.