590. 1) 3.39-суретте кескінделген кубтың жоғарғы жағындағы ACD үшбұрышының ауданы 24 1/2 см². Кубтың бөлігінің көлемін табыңдар.

Кратко

1. Объём указанной части куба: \(171\frac{1}{2}\) см³.
   Объём всего куба при этом равен \(343\) см³.

2. Осталось \(\frac{1}{4}\) кг, то есть \(250\) г.

1) Как получилась часть куба

Верхняя грань куба — квадрат, а треугольник \(ACD\) составляет половину этого квадрата: диагональ \(AC\) делит квадрат на два равных треугольника.

\[ S_{ACD}=24\frac{1}{2}=\frac{49}{2}\ \text{см}^2 \]

Значит, площадь всей верхней грани:

\[ S_{\text{грани}}=2\cdot \frac{49}{2}=49\ \text{см}^2 \]

Ребро куба:

\[ a^2=49,\qquad a=7\ \text{см} \]

Объём всего куба:

\[ V=a^3=7^3=343\ \text{см}^3 \]

Часть куба под треугольником \(ACD\) — это половина куба, то есть треугольная призма:

\[ V_{\text{части}}=\frac{343}{2}=171\frac{1}{2}\ \text{см}^3 \]

Проверка через призму:

\[ V_{\text{части}}=S_{ACD}\cdot a=\frac{49}{2}\cdot 7=\frac{343}{2}=171\frac{1}{2} \]

2) Сколько стали осталось

На 14 деталей по \(\frac{5}{8}\) кг ушло:

\[ 14\cdot \frac{5}{8}=\frac{70}{8}=\frac{35}{4}=8\frac{3}{4}\ \text{кг} \]

Было 9 кг, значит осталось:

\[ 9-8\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\ \text{кг} \]

\[ \frac{1}{4}\ \text{кг}=250\ \text{г} \]

Ответ:

1. \(171\frac{1}{2}\) см³;
2. \(\frac{1}{4}\) кг, или 250 г.