Через середины рёбер AB и BC тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.
69
Сверь числа и знаки с фото.
69 Через середины рёбер \(AB\) и \(BC\) тетраэдра \(SABC\) проведена плоскость параллельно ребру \(SB\). Докажите, что эта плоскость пересекает грани \(SAB\) и \(SBC\) по параллельным прямым.
Краткий ответ: плоскость сечения пересекает грани \(SAB\) и \(SBC\) по прямым, каждая из которых параллельна ребру \(SB\), поэтому эти прямые параллельны друг другу.
Доказательство
Пусть \(M\) — середина ребра \(AB\), \(N\) — середина ребра \(BC\). Плоскость \(\alpha\) проходит через \(M\) и \(N\) и параллельна прямой \(SB\).
Рассмотрим грань \(SAB\). Плоскость \(\alpha\) пересекает её по некоторой прямой \(l_1\), проходящей через точку \(M\). Прямая \(SB\) лежит в плоскости \(SAB\) и параллельна плоскости \(\alpha\). По свойству линии пересечения плоскостей: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой. Значит, \[ l_1 \parallel SB. \]
Аналогично для грани \(SBC\): плоскость \(\alpha\) пересекает её по прямой \(l_2\), проходящей через \(N\), причём \[ l_2 \parallel SB. \]
Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, \[ l_1 \parallel l_2. \]
Вывод: плоскость сечения пересекает грани \(SAB\) и \(SBC\) по параллельным прямым. Что и требовалось доказать.
Проверка: обе линии пересечения лежат в одной плоскости \(\alpha\) и обе параллельны \(SB\); по признаку параллельности прямых в пространстве они параллельны. Построить их можно так: через \(M\) в грани \(SAB\) провести \(MK \parallel SB\) до пересечения с \(SA\), а через \(N\) в грани \(SBC\) провести \(NL \parallel SB\) до пересечения с \(SC\). Тогда \(MK\) и \(NL\) — искомые линии сечения, и \(MK \parallel NL\).
Обсуждение
2 сообщенияКак построить это сечение?
Краткий ответ: сечение — параллелограмм \(MKLN\). Его стороны: \(MN\) в основании, \(MK\) в грани \(SAB\), \(KL\) в грани \(SAC\), \(NL\) в грани \(SBC\), причём \(MK \parallel NL \parallel SB\) и \(MN \parallel KL \parallel AC\).
Построение
Отметь середины \(M\) ребра \(AB\) и \(N\) ребра \(BC\). Соедини их: отрезок \(MN\) лежит в основании \(ABC\), причём \[ MN \parallel AC \] как средняя линия треугольника \(ABC\).
В грани \(SAB\) через точку \(M\) проведи прямую, параллельную ребру \(SB\). Пусть она пересекает ребро \(SA\) в точке \(K\). Так как \(M\) — середина \(AB\) и \(MK \parallel SB\), то по теореме о средней линии \(K\) — середина \(SA\).
В грани \(SBC\) через точку \(N\) проведи прямую, параллельную \(SB\). Пусть она пересекает ребро \(SC\) в точке \(L\). Аналогично \(L\) — середина \(SC\).
Соедини точки \(K\) и \(L\). Отрезок \(KL\) лежит в грани \(SAC\). В треугольнике \(SAC\) точки \(K\) и \(L\) — середины сторон \(SA\) и \(SC\), поэтому \[ KL \parallel AC. \]
Обведи замкнутую ломаную \(M-K-L-N-M\). Это и есть искомое сечение.
Почему построение верное
- Прямые \(MK\) и \(NL\) обе параллельны \(SB\), значит, \(MK \parallel NL\).
- Прямые \(MN\) и \(KL\) обе параллельны \(AC\), значит, \(MN \parallel KL\).
- Все четыре точки \(M,K,L,N\) лежат в одной плоскости сечения, поэтому \(MKLN\) — параллелограмм.
Проверка: сечение проходит через заданные точки \(M\) и \(N\) и содержит прямые \(MK\) и \(NL\), параллельные \(SB\), — значит, плоскость сечения действительно параллельна ребру \(SB\).
