234. Найдите область определения функции: 1) f(x) = (x + 3)/(x - 4); 2) f(x) = 9/(x² + 16); 3) f(x) = (5x + 1)/(x² - 6x + 8);

Решаю № 234 — «Найдите область определения функции».

Краткие ответы:

1. \(D(f)=\mathbb R\setminus\{4\}=(-\infty;4)\cup(4;+\infty)\)
2. \(D(f)=\mathbb R\)
3. \(D(f)=\mathbb R\setminus\{2;4\}=(-\infty;2)\cup(2;4)\cup(4;+\infty)\)
4. \(D(f)=[3;+\infty)\)
5. \(D(f)=\{5\}\)
6. \(D(f)=\mathbb R\)

Как рассуждать:

• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Под квадратным корнем должно стоять неотрицательное число.
• Если корней несколько, нужно выполнить все условия одновременно — взять пересечение.

Подробно по пунктам:

1. \[ f(x)=\frac{x+3}{x-4} \] Знаменатель \(x-4\ne 0\), поэтому \(x\ne 4\).

2. \[ f(x)=\frac{9}{x^2+16} \] Так как \(x^2+16>0\) при любом \(x\), знаменатель никогда не равен нулю. Ограничений нет.

3. \[ f(x)=\frac{5x+1}{x^2-6x+8} \] \[ x^2-6x+8=(x-2)(x-4) \] Знаменатель равен нулю при \(x=2\) и \(x=4\), значит, эти значения нужно исключить.

4. \[ f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x-3} \] Нужно одновременно: \[ x-1\ge 0 \quad\text{и}\quad x-3\ge 0 \] То есть \(x\ge 1\) и \(x\ge 3\). Более сильное условие — \(x\ge 3\).

5. \[ f(x)=\sqrt{x-5}+\sqrt{5-x} \] Нужно: \[ x-5\ge 0 \quad\text{и}\quad 5-x\ge 0 \] Отсюда \(x\ge 5\) и \(x\le 5\), поэтому подходит только \(x=5\).

6. \[ f(x)=\sqrt{x^2+1} \] Так как \(x^2+1>0\) при любом \(x\), подкоренное выражение всегда неотрицательно. Область определения — все действительные числа.

Проверка: в пунктах 1 и 3 запрещённые значения действительно обращают знаменатель в нуль; в пункте 5 только \(x=5\) делает оба корня существующими; в пункте 6 выражение под корнем всегда положительно.