как решить 479 номер ?

Да, давай разберём подробнее. В этой задаче важно понять, почему площади относятся именно так.

У треугольников \(ADE\) и \(ABC\) общий угол \(A\): точки \(D\) и \(E\) лежат на сторонах \(AB\) и \(AC\), поэтому

\[ \angle DAE=\angle BAC. \]

1. Формула площади через две стороны и угол

Площадь треугольника можно найти так:

\[ S=\frac12 ab\sin\gamma, \]

где \(a\) и \(b\) — две стороны, а \(\gamma\) — угол между ними.

Для большого треугольника \(ABC\):

\[ S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\angle BAC. \]

Для маленького треугольника \(ADE\):

\[ S_{ADE}=\frac12\cdot AD\cdot AE\cdot\sin\angle DAE. \]

Но углы \(\angle BAC\) и \(\angle DAE\) равны, значит, и их синусы равны. Поэтому при делении площадей синусы сокращаются:

\[ \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{AD\cdot AE}{AB\cdot AC}. \]

Эту формулу можно переписать так:

\[ \boxed{ \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{AD}{AB}\cdot\frac{AE}{AC} } \]

То есть отношение площадей равно произведению двух отношений сторон, выходящих из общего угла.

Это не просто отношение одной стороны, потому что при изменении обеих сторон площадь меняется «в двух направлениях».

---

2. Пункт а)

Используем данные:

\[ S_{ABC}=10\ \text{см}^2,\qquad AB=5\ \text{см},\qquad AD=3\ \text{см},\qquad AC=6\ \text{см},\qquad AE=2\ \text{см}. \]

Подставляем в формулу:

\[ \frac{S_{ADE}}{10} = \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{6}. \]

Сначала упростим вторую дробь:

\[ \frac{2}{6}=\frac13. \]

Тогда

\[ \frac{S_{ADE}}{10} = \frac{3}{5}\cdot\frac13 = \frac{1}{5}. \]

Значит,

\[ S_{ADE}=10\cdot\frac15=2. \]

Ответ в пункте а):

\[ \boxed{S_{ADE}=2\ \text{см}^2} \]

---

3. Пункт б)

Теперь неизвестна сторона \(AD\). Используем те же данные:

\[ S_{ABC}=10,\qquad S_{ADE}=2,\qquad AB=8,\qquad AC=3,\qquad AE=2. \]

Сначала найдём отношение площадей:

\[ \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{2}{10} = \frac15. \]

По формуле:

\[ \frac15 = \frac{AD}{AB}\cdot\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{8}\cdot\frac{2}{3}. \]

Упростим правую часть:

\[ \frac{AD}{8}\cdot\frac{2}{3} = \frac{2AD}{24} = \frac{AD}{12}. \]

Получаем:

\[ \frac15=\frac{AD}{12}. \]

Отсюда:

\[ AD=\frac{12}{5}=2{,}4. \]

Ответ в пункте б):

\[ \boxed{AD=2{,}4\ \text{см}} \]

---

4. Проверка

Подставим \(AD=2{,}4\) обратно:

\[ \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{2{,}4}{8}\cdot\frac{2}{3} = 0{,}3\cdot\frac{2}{3} = 0{,}2 = \frac15. \]

А так как \(S_{ABC}=10\), то

\[ S_{ADE}=10\cdot\frac15=2. \]

Всё сходится.

Главное, что стоит запомнить: если у двух треугольников есть общий угол, то отношение их площадей равно произведению отношений сторон, образующих этот угол:

\[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1}{a_2}\cdot\frac{b_1}{b_2}. \]

Да, давай разберём именно этот шаг из пункта б.

В пункте б мы получили:

\[ \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\frac{AD}{AB}\cdot \frac{AE}{AC}. \]

Подставили данные:

\[ \frac{2}{10}=\frac{AD}{8}\cdot \frac{2}{3}. \]

Слева:

\[ \frac{2}{10}=\frac{1}{5}. \]

Теперь упрощаем правую часть:

\[ \frac{AD}{8}\cdot \frac{2}{3}. \]

1. Перемножаем дроби

При умножении дробей числители перемножаются, знаменатели тоже:

\[ \frac{AD}{8}\cdot \frac{2}{3} = \frac{AD\cdot 2}{8\cdot 3}. \]

То есть

\[ \frac{AD}{8}\cdot \frac{2}{3} = \frac{2AD}{24}. \]

2. Сокращаем дробь на 2

В числителе есть множитель \(2\), и в знаменателе \(24\) тоже делится на \(2\):

\[ \frac{2AD}{24} = \frac{AD}{12}. \]

Потому что

\[ 2AD:2=AD, \qquad 24:2=12. \]

Значит,

\[ \frac{AD}{8}\cdot \frac{2}{3} = \frac{AD}{12}. \]

Можно было сократить и иначе:

\[ \frac{AD}{8}\cdot \frac{2}{3} = \frac{AD}{4\cdot 3} = \frac{AD}{12}, \]

потому что \(2\) в числителе и \(8\) в знаменателе сокращаются на \(2\).

---

Теперь уравнение становится таким:

\[ \frac{1}{5}=\frac{AD}{12}. \]

3. Выражаем \(AD\)

Умножим обе части на \(12\):

\[ 12\cdot \frac{1}{5}=AD. \]

\[ AD=\frac{12}{5}. \]

\[ AD=2{,}4. \]

Ответ:

\[ \boxed{AD=2{,}4\ \text{см}} \]

Главное здесь — сначала перемножить дроби, а потом сократить общие множители.