Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_{1}=2,\; x_{2}=3\).

Как решать:

Уравнение имеет вид \(ax^{2}+bx+c=0\), где \(a=1,\ b=-5,\ c=6\).

Можно разложить левую часть на множители. Нужны два числа, которые:

• в произведении дают \(6\);
• в сумме дают \(5\).

Это \(2\) и \(3\), поэтому:

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Получаем:

\[ (x-2)(x-3)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0, \]

откуда:

\[ x_{1}=2,\qquad x_{2}=3. \]

Проверка:

\[ 2^{2}-5\cdot2+6=4-10+6=0, \]

\[ 3^{2}-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]

Оба корня подходят.

Можно решать и через дискриминант:

\[ D=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot6=25-24=1, \]

\[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}. \]

Отсюда снова \(x_{1}=2,\ x_{2}=3\). Принцип: для квадратного уравнения ищем такие значения \(x\), при которых выражение обращается в ноль; разложение на множители или дискриминант помогают их найти.