Реши все примеры по математике с подробным решением

Question

Расшифровка фото нейросетью:
I тип. Базовый (вычисление по определению):

1. $4\log_3 3-7\log_5 1$

2. $\log_{\frac{1}{2}}8+3\log_5 0{,}2$

3. $5\log_{14}196-\log_{\frac{1}{6}}216$

4. $8\log_e e^7-3\log_4\frac{1}{256}$

5. $\log_{\frac{1}{3}}81+13\log_\pi 1$

6. $12\lg 0{,}001+\log_{k^2}k^6$

7. $\log_{0{,}2}625+\ln e^{12}$

8. $5\log_6\frac{1}{36}-2\log_7 343$

9. $-\frac{2}{3}\log_{\frac{1}{2}}64+4\log_{\sqrt{3}}27$

10. $1{,}4\log_{11}1331-4{,}2\log_{12}144$

11. $17\log_{\frac{5}{2}}6{,}25+10\log_{\frac{3}{2}}1{,}5$

12. $\log_{\sqrt[4]{29}}29-5\log_{\frac{1}{31}}961$

13. $7\log_{1{,}25}0{,}64+\log_{\sqrt[7]{7}}49$

14. $\lg 10^7-4\ln e^5$

15. $\log_{\sqrt{5}}625+5\log_2 0{,}125$

16. $4\log_9\log_6 216$

17. $2{,}3\log_{0{,}5}\log_{3\sqrt{5}}2025$

18. $0{,}7\log_{0{,}36}\log_4(8\sqrt[3]{2})$

19. $\log_{\sqrt{5}}0{,}2+\log_2^3 0{,}5$

20. $\log_{12}^{1}1-\log_3^4 9$

21. $\log_{14}^2 196+\log_{0{,}25}^5 4$

Answer

Краткие ответы:

1. 4; 2) −6; 3) 13; 4) 68; 5) −4; 6) −33; 7) 8; 8) −16; 9) 28; 10) −4,2; 11) 44; 12) 14; 13) 0; 14) −13; 15) −7; 16) 2; 17) −4,6; 18) −0,35; 19) −3; 20) −16; 21) 3.

Главный принцип. По определению
$$
\log_a b=c \Longleftrightarrow a^c=b.
$$
Полезны свойства
$$
\log_{a^n}b^m=\frac mn\log_a b,\qquad \log_a1=0,\qquad \log_a a=1.
$$
В номерах 19–21 запись $\log_a^m b$ означает степень логарифма: $\log_a^m b=(\log_a b)^m$.

Решения по номерам.

1. $\log_3 3=1,\ \log_5 1=0$:
$$
4\cdot1-7\cdot0=4.
$$

2. $8=(1/2)^{-3}$, значит $\log_{1/2}8=-3$. Далее $0{,}2=5^{-1}$, поэтому
$$
-3+3\cdot(-1)=-6.
$$

3. $196=14^2$, $216=6^3=(1/6)^{-3}$:
$$
5\cdot2-(-3)=13.
$$

4. $\log_e e^7=7$, а $\frac1{256}=4^{-4}$:
$$
8\cdot7-3\cdot(-4)=56+12=68.
$$

5. $81=(1/3)^{-4}$, $\log_\pi1=0$:
$$
-4+13\cdot0=-4.
$$

6. $0{,}001=10^{-3}$, $k^6=(k^2)^3$:
$$
12\cdot(-3)+3=-36+3=-33.
$$
Здесь $k\ne0,\ k\ne\pm1$.

7. $625=5^4=(1/5)^{-4}$, $\ln e^{12}=12$:
$$
-4+12=8.
$$

8. $\frac1{36}=6^{-2}$, $343=7^3$:
$$
5\cdot(-2)-2\cdot3=-10-6=-16.
$$

9. $\log_{1/2}64=-6$, поэтому $-\frac23\cdot(-6)=4$. Также $27=(\sqrt3)^6$:
$$
4+4\cdot6=28.
$$

10. $1331=11^3$, $144=12^2$:
$$
1{,}4\cdot3-4{,}2\cdot2=4{,}2-8{,}4=-4{,}2.
$$

11. $\log_{5/2}6{,}25=\log_{5/2}(5/2)^2=2$, $\log_{3/2}1{,}5=1$:
$$
17\cdot2+10\cdot1=44.
$$

12. $29=(\sqrt[4]{29})^4$, $961=31^2=(1/31)^{-2}$:
$$
4-5\cdot(-2)=14.
$$

13. $0{,}64=\frac{16}{25}=(5/4)^{-2}$, поэтому первый логарифм равен $-2$. Далее $49=7^2=(\sqrt[7]7)^{14}$:
$$
7\cdot(-2)+14=0.
$$

14. $\lg10^7=7$, $\ln e^5=5$:
$$
7-4\cdot5=-13.
$$

15. $625=(\sqrt5)^8$, $0{,}125=2^{-3}$:
$$
8+5\cdot(-3)=8-15=-7.
$$

16. $\log_6 216=3$, $\log_9 3=\frac12$:
$$
4\cdot\frac12=2.
$$

17. $2025=45^2=(3\sqrt5)^4$, поэтому $\log_{3\sqrt5}2025=4$. Тогда
$$
\log_{0{,}5}4=\log_{1/2}4=-2,
$$
$$
2{,}3\cdot(-2)=-4{,}6.
$$

18. Сначала
$$
8\sqrt[3]2=2^3\cdot2^{1/3}=2^{10/3}.
$$
Значит
$$
\log_4(8\sqrt[3]2)=\log_{2^2}2^{10/3}=\frac{10/3}{2}=\frac53.
$$
Далее $0{,}36=(3/5)^2$, а $5/3=(3/5)^{-1}$, поэтому
$$
\log_{0{,}36}\frac53=-\frac12.
$$
Итого
$$
0{,}7\cdot\left(-\frac12\right)=-0{,}35.
$$

19. $0{,}2=5^{-1}$, $\log_2 0{,}5=-1$:
$$
\log_{\sqrt5}(5^{-1})=\frac{-1}{1/2}=-2,
$$
$$
(\log_2 0{,}5)^3=(-1)^3=-1,
$$
$$
-2-1=-3.
$$

20. $\log_{12}1=0$, $\log_3 9=2$:
$$
0-2^4=0-16=-16.
$$

21. $\log_{14}196=2$, $\log_{0{,}25}4=\log_{1/4}4=-1$:
$$
2^2+(-1)^5=4-1=3.
$$

Проверка всегда делается обратным возведением: например, в №2 $(1/2)^{-3}=8$ и $5^{-1}=0{,}2$, поэтому сумма действительно равна $-6$.