реши все уравнения

На доске — четыре неравенства. Краткие ответы:

1. \(\displaystyle x\in\{0\}\cup\left[1;\frac65\right]\)
2. \(\displaystyle x\in[-5;-4]\cup\{4\}\)
3. \(\displaystyle x\in(-\infty;-3]\cup\{2\}\)
4. \(\displaystyle x\in\left\{\frac13\right\}\cup\left[\frac32;+\infty\right)\)

Ключевые шаги

1. \[ \sqrt{\frac32x^2-x^3}\ge\sqrt{3x-\frac52x^2} \] Сначала ОДЗ: \[ x^2\left(\frac32-x\right)\ge0,\qquad x\left(3-\frac52x\right)\ge0, \] откуда \(0\le x\le\frac65\). На этом промежутке обе части неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат: \[ \frac32x^2-x^3\ge3x-\frac52x^2 \iff -x(x-1)(x-3)\ge0. \] То есть \(x(x-1)(x-3)\le0\). С учётом ОДЗ получаем \(\{0\}\cup[1;\frac65]\).

2. \[ (x^2+6x+5)\sqrt{x^2-16}\le0 \] ОДЗ: \(x\le-4\) или \(x\ge4\). Корень неотрицателен, поэтому произведение не больше нуля, если \[ x^2+6x+5\le0 \] или сам корень равен нулю. \[ x^2+6x+5=(x+1)(x+5)\le0 \Rightarrow -5\le x\le-1. \] С учётом ОДЗ это даёт \([-5;-4]\). Ещё корень равен нулю при \(x=\pm4\); добавляется только \(x=4\). Ответ: \([-5;-4]\cup\{4\}\).

3. \[ (9-x^2)\sqrt{2-x}\le0 \] ОДЗ: \(x\le2\). Так как корень неотрицателен, нужно \(9-x^2\le0\) или \(2-x=0\). \[ 9-x^2\le0 \Rightarrow x\le-3 \text{ или } x\ge3. \] С учётом \(x\le2\) остаётся \(x\le-3\). Также \(x=2\) обнуляет корень. Ответ: \((-\infty;-3]\cup\{2\}\).

4. \[ \sqrt{3x^2+5x-2}\le3x-1 \] Правая часть должна быть неотрицательной, поэтому \(x\ge\frac13\). При этом \[ 3x^2+5x-2=(3x-1)(x+2)\ge0, \] значит радикал определён. Возводим в квадрат: \[ 3x^2+5x-2\le(3x-1)^2 \] \[ 6x^2-11x+3\ge0 \] \[ (3x-1)(2x-3)\ge0. \] С учётом \(x\ge\frac13\) получаем \(x=\frac13\) или \(x\ge\frac32\).

Общий принцип: сначала находим ОДЗ, затем используем неотрицательность корня; возводить в квадрат можно только тогда, когда обе части неотрицательны. Все граничные точки включены, потому что неравенства нестрогие.