Реши 16.6 Расшифровка фото нейросетью: 16.6. Решите неравенство: 1. \(\sqrt{x+2} > x\); 2. \(\sqrt{x^2-2x} \ge 4-x\); 3. \(\sqrt{x^2+5x-24} \ge x+2\); 4. \(\sqrt{x^2+4x-5} > x-3\).

Под номером 16.6 на фото четыре неравенства. Решения: 1. \(x \in [-2;\,2)\); 2. \(x \in \left[\frac{8}{3};\,+\infty\right)\); 3. \(x \in (-\infty;\,-8] \cup [28;\,+\infty)\); 4. \(x \in (-\infty;\,-5] \cup [1;\,+\infty)\). Общий принцип. Неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \gtrless g(x)\) решают так: 1. Находят ОДЗ: \(f(x)\ge0\). 2. Отдельно рассматривают два случая: \(g(x) x\). ОДЗ: \(x\ge-2\). При \(x x^2\), то есть \(x^2-x-2<0\), \((x-2)(x+1)<0\), откуда \(-1<x<2\). С учётом \(x\ge0\): \([0;2)\). Объединение: \([-2;2)\). 2. \(\sqrt{x^2-2x}\ge4-x\). ОДЗ: \(x\le0\) или \(x\ge2\). При \(x\ge4\) правая часть неположительна, поэтому верно. При \(x -2\): \(x^2+5x-24\ge x^2+4x+4\), \(x\ge28\). Ответ: \((-\infty;-8]\cup[28;+\infty)\). 4. \(\sqrt{x^2+4x-5}>x-3\). ОДЗ: \(x^2+4x-5\ge0\), то есть \(x\le-5\) или \(x\ge1\). При \(x x^2-6x+9\), \(10x>14\), \(x>1{,}4\). При \(x\ge3\) это всегда выполнено. Ответ: \((-\infty;-5]\cup[1;+\infty)\). Проверка по граничным точкам. 1. \(x=2\): \(\sqrt4=2>2\) — неверно, поэтому 2 не входит. 2. \(x=\frac83\): \(\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac43\), \(4-\frac83=\frac43\) — равенство, точка входит. 3. \(x=-8\): \(0\ge-6\) — верно; \(x=28\): \(\sqrt{900}=30\ge30\) — верно. 4. \(x=-5\): \(0>-8\) — верно; \(x=1\): \(0>-2\) — верно.

Алгебра · 10 класс Задача №3781646

Аноним

2 дня назад · публичный вопрос

Аноним 2 дня назад

Реши 16.6

Ответ нейросети

2 дня назад

Под номером 16.6 на фото четыре неравенства. Решения:

\(x \in [-2;\,2)\);
\(x \in \left[\frac{8}{3};\,+\infty\right)\);
\(x \in (-\infty;\,-8] \cup [28;\,+\infty)\);
\(x \in (-\infty;\,-5] \cup [1;\,+\infty)\).

Общий принцип. Неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \gtrless g(x)\) решают так:

Находят ОДЗ: \(f(x)\ge0\).
Отдельно рассматривают два случая:
- \(g(x)<0\): корень неотрицателен, поэтому он заведомо больше (или не меньше) \(g(x)\); берут все \(x\) из ОДЗ с этим условием;
- \(g(x)\ge0\): обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат: \(f(x)\gtrless g^2(x)\).
Объединяют решения случаев.

Разбор.

\(\sqrt{x+2}>x\). ОДЗ: \(x\ge-2\).
При \(x<0\) верно автоматически: \([-2;0)\).
При \(x\ge0\): \(x+2>x^2\), то есть \(x^2-x-2<0\), \((x-2)(x+1)<0\), откуда \(-1<x<2\). С учётом \(x\ge0\): \([0;2)\).
Объединение: \([-2;2)\).
\(\sqrt{x^2-2x}\ge4-x\). ОДЗ: \(x\le0\) или \(x\ge2\).
При \(x\ge4\) правая часть неположительна, поэтому верно.
При \(x<4\): \(x^2-2x\ge(4-x)^2\), \(x^2-2x\ge x^2-8x+16\), \(6x\ge16\), \(x\ge\frac83\). С учётом \(x<4\) и ОДЗ: \(\left[\frac83;4\right)\).
Вместе с \(x\ge4\): \(\left[\frac83;+\infty\right)\).
\(\sqrt{x^2+5x-24}\ge x+2\). ОДЗ: \(x^2+5x-24\ge0\), то есть \(x\le-8\) или \(x\ge3\).
При \(x\le-2\) верно, но из ОДЗ остаётся \(x\le-8\).
При \(x>-2\): \(x^2+5x-24\ge x^2+4x+4\), \(x\ge28\).
Ответ: \((-\infty;-8]\cup[28;+\infty)\).
\(\sqrt{x^2+4x-5}>x-3\). ОДЗ: \(x^2+4x-5\ge0\), то есть \(x\le-5\) или \(x\ge1\).
При \(x<3\) верно; с ОДЗ: \(x\le-5\) или \(1\le x<3\).
При \(x\ge3\): \(x^2+4x-5>x^2-6x+9\), \(10x>14\), \(x>1{,}4\). При \(x\ge3\) это всегда выполнено.
Ответ: \((-\infty;-5]\cup[1;+\infty)\).

Проверка по граничным точкам.

\(x=2\): \(\sqrt4=2>2\) — неверно, поэтому 2 не входит.
\(x=\frac83\): \(\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac43\), \(4-\frac83=\frac43\) — равенство, точка входит.
\(x=-8\): \(0\ge-6\) — верно; \(x=28\): \(\sqrt{900}=30\ge30\) — верно.
\(x=-5\): \(0>-8\) — верно; \(x=1\): \(0>-2\) — верно.

Обсуждение

4 сообщения

Аноним 2 дня назад

Реши как здесь

Нейросеть2 дня назад

Кратко — те же ответы, но с оформлением через равносильные системы, как в образце:

\(\sqrt{x+2}>x\): \(\boxed{[-2;\,2)}\)
\(\sqrt{x^2-2x}\ge 4-x\): \(\boxed{\left[\frac83;\,+\infty\right)}\)
\(\sqrt{x^2+5x-24}\ge x+2\): \(\boxed{(-\infty;\,-8]\cup[28;\,+\infty)}\)
\(\sqrt{x^2+4x-5}>x-3\): \(\boxed{(-\infty;\,-5]\cup[1;\,+\infty)}\)

1) \(\sqrt{x+2}>x\)

\[ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x<0,\\ x+2\ge0; \end{cases}\\[2mm] \begin{cases} x\ge0,\\ x+2>x^2. \end{cases} \end{array} \right. \]

Первая система: \(x\in[-2;0)\).

Вторая: \[ x+2>x^2 \iff x^2-x-2<0 \iff (x-2)(x+1)<0 \iff -1<x<2. \] С учётом \(x\ge0\): \(x\in[0;2)\).

Объединяем: \[ [-2;0)\cup[0;2)=[-2;2). \]

На числовой прямой: точка \(-2\) закрашена, точка \(2\) выколота, штриховка между ними.

Ответ: \(\boxed{[-2;2)}\).

2) \(\sqrt{x^2-2x}\ge4-x\)

\[ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} 4-x\le0,\\ x^2-2x\ge0; \end{cases}\\[2mm] \begin{cases} 4-x>0,\\ x^2-2x\ge(4-x)^2. \end{cases} \end{array} \right. \]

Первая система: \[ x\ge4,\quad x(x-2)\ge0. \] При \(x\ge4\) ОДЗ выполнена, значит \(x\in[4;+\infty)\).

Вторая система: \(x<4\). Решаем: \[ x^2-2x\ge(4-x)^2, \] \[ x^2-2x\ge16-8x+x^2, \] \[ 6x\ge16, \] \[ x\ge\frac83. \] С учётом ОДЗ \(x\le0\) или \(x\ge2\) и \(x<4\): \[ x\in\left[\frac83;4\right). \]

Объединяем: \[ \left[\frac83;4\right)\cup[4;+\infty) = \left[\frac83;+\infty\right). \]

Ответ: \(\boxed{\left[\frac83;+\infty\right)}\).

3) \(\sqrt{x^2+5x-24}\ge x+2\)

Сначала: \[ x^2+5x-24=(x+8)(x-3), \] поэтому ОДЗ: \[ (x+8)(x-3)\ge0 \iff x\le-8\ \text{или}\ x\ge3. \]

\[ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x+2\le0,\\ x^2+5x-24\ge0; \end{cases}\\[2mm] \begin{cases} x+2>0,\\ x^2+5x-24\ge(x+2)^2. \end{cases} \end{array} \right. \]

Первая система: \[ x\le-2 \] и ОДЗ \(x\le-8\) или \(x\ge3\). Пересечение: \[ x\le-8. \]

Вторая система: \(x>-2\). Из ОДЗ остаётся \(x\ge3\): \[ x^2+5x-24\ge x^2+4x+4, \] \[ x\ge28. \] С учётом \(x\ge3\): \[ x\ge28. \]

Объединяем: \[ x\le-8\quad\text{или}\quad x\ge28. \]

Ответ: \(\boxed{(-\infty;-8]\cup[28;+\infty)}\).

4) \(\sqrt{x^2+4x-5}>x-3\)

\[ x^2+4x-5=(x+5)(x-1), \] поэтому ОДЗ: \[ x\le-5\quad\text{или}\quad x\ge1. \]

\[ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x-3<0,\\ x^2+4x-5\ge0; \end{cases}\\[2mm] \begin{cases} x-3\ge0,\\ x^2+4x-5>(x-3)^2. \end{cases} \end{array} \right. \]

Первая система: \[ x<3, \] а из ОДЗ: \[ x\le-5\quad\text{или}\quad 1\le x<3. \]

Вторая система: \(x\ge3\). Тогда \[ x^2+4x-5>x^2-6x+9, \] \[ 10x>14, \] \[ x>1{,}4. \] При \(x\ge3\) это всегда верно, значит: \[ x\ge3. \]

Объединяем: \[ x\le-5\quad\text{или}\quad x\ge1. \]

Ответ: \(\boxed{(-\infty;-5]\cup[1;+\infty)}\).

Аноним 2 дня назад

Напиши все понятно

Нейросеть2 дня назад

Ниже — полное и подробное решение всех четырёх неравенств из 16.6. Сначала общее правило, потом каждый номер по шагам.

Главное правило

Для неравенства \(\sqrt{f(x)}\gtrless g(x)\) всегда:

ОДЗ: \(f(x)\ge0\) — под корнем не может быть отрицательного числа.
Дальше два случая:
- Правая часть отрицательна: \(g(x)<0\). Корень \(\ge0\), значит он заведомо больше отрицательного числа — неравенство выполнено автоматически (только нужна ОДЗ).
- Правая часть неотрицательна: \(g(x)\ge0\). Обе части \(\ge0\), поэтому можно возводить в квадрат: \(f(x)\gtrless g^2(x)\).
Ответ — объединение решений обоих случаев.

1) \(\sqrt{x+2}>x\)

ОДЗ: \(x+2\ge0 \Rightarrow x\ge-2\).

Случай 1: \(x<0\). Корень \(\ge0\), а справа отрицательное число, значит \(\sqrt{x+2}>x\) верно всегда.
С учётом ОДЗ: \(x\in[-2;\,0)\).

Случай 2: \(x\ge0\). Возводим в квадрат: \[ x+2>x^2 \iff x^2-x-2<0 \iff (x-2)(x+1)<0 \iff -1<x<2. \] С учётом \(x\ge0\): \(x\in[0;\,2)\).

Объединяем: \[ [-2;\,0)\cup[0;\,2)=[-2;\,2). \]

Ответ: \(\boxed{[-2;\,2)}\).
Проверка: при \(x=2\) получаем \(2>2\) — неверно, поэтому 2 выколота; при \(x=-2\) получаем \(0>-2\) — верно, поэтому \(-2\) закрашена.

2) \(\sqrt{x^2-2x}\ge4-x\)

ОДЗ: \[ x^2-2x\ge0 \iff x(x-2)\ge0 \iff x\le0 \ \text{или}\ x\ge2. \]

Случай 1: \(4-x\le0\), то есть \(x\ge4\). Слева корень \(\ge0\), справа число \(\le0\), неравенство верно всегда.
Получаем: \(x\in[4;\,+\infty)\).

Случай 2: \(4-x>0\), то есть \(x<4\). Возводим в квадрат: \[ x^2-2x\ge(4-x)^2, \] \[ x^2-2x\ge16-8x+x^2, \] \[ -2x\ge16-8x, \] \[ 6x\ge16, \] \[ x\ge\frac83. \] С учётом \(x<4\) и ОДЗ: \(x\in\left[\frac83;\,4\right)\).

Объединяем: \[ \left[\frac83;\,4\right)\cup[4;\,+\infty)=\left[\frac83;\,+\infty\right). \]

Ответ: \(\boxed{\left[\frac83;\,+\infty\right)}\).
Проверка: при \(x=\frac83\) слева \(\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac43\), справа \(4-\frac83=\frac43\) — равенство, точка входит.

3) \(\sqrt{x^2+5x-24}\ge x+2\)

ОДЗ. Разложим на множители: \[ x^2+5x-24=(x+8)(x-3). \] Значит: \[ (x+8)(x-3)\ge0 \iff x\le-8 \ \text{или}\ x\ge3. \]

Случай 1: \(x+2\le0\), то есть \(x\le-2\). Неравенство верно автоматически. С учётом ОДЗ (\(x\le-8\) или \(x\ge3\)) остаётся: \[ x\le-8. \]

Случай 2: \(x+2>0\), то есть \(x>-2\). Возводим в квадрат: \[ x^2+5x-24\ge(x+2)^2, \] \[ x^2+5x-24\ge x^2+4x+4, \] \[ x\ge28. \] С учётом \(x\ge3\): \(x\ge28\).

Объединяем: \[ x\le-8 \quad\text{или}\quad x\ge28. \]

Ответ: \(\boxed{(-\infty;\,-8]\cup[28;\,+\infty)}\).
Проверка: при \(x=-8\) слева \(0\), справа \(-6\), \(0\ge-6\) — верно; при \(x=28\) слева \(\sqrt{900}=30\), справа \(30\), равенство — верно.

4) \(\sqrt{x^2+4x-5}>x-3\)

ОДЗ. Разложим: \[ x^2+4x-5=(x+5)(x-1), \] \[ (x+5)(x-1)\ge0 \iff x\le-5 \ \text{или}\ x\ge1. \]

Случай 1: \(x-3<0\), то есть \(x<3\). Неравенство верно автоматически (корень \(\ge0\) больше отрицательного числа). С учётом ОДЗ: \[ x\le-5 \quad\text{или}\quad 1\le x<3. \]

Случай 2: \(x-3\ge0\), то есть \(x\ge3\). Возводим в квадрат: \[ x^2+4x-5>(x-3)^2, \] \[ x^2+4x-5>x^2-6x+9, \] \[ 10x>14, \] \[ x>1{,}4. \] Это верно для всех \(x\ge3\), значит здесь решение: \(x\ge3\).

Объединяем: \[ x\le-5 \quad\text{или}\quad x\ge1. \]

Ответ: \(\boxed{(-\infty;\,-5]\cup[1;\,+\infty)}\).
Проверка: при \(x=1\) слева \(0\), справа \(-2\), \(0>-2\) — верно; при \(x=-5\) слева \(0\), справа \(-8\) — верно.

Сводка ответов

№	Неравенство	Ответ
1	\(\sqrt{x+2}>x\)	\([-2;\,2)\)
2	\(\sqrt{x^2-2x}\ge4-x\)	\(\left[\frac83;\,+\infty\right)\)
3	\(\sqrt{x^2+5x-24}\ge x+2\)	\((-\infty;\,-8]\cup[28;\,+\infty)\)
4	\(\sqrt{x^2+4x-5}>x-3\)	\((-\infty;\,-5]\cup[1;\,+\infty)\)

Что важно запомнить: сначала ОДЗ, потом два случая по знаку правой части, затем объединение. Если правая часть может быть отрицательной, возводить в квадрат «в лоб» нельзя — появятся лишние решения.