ЗАДАНИЕ №0

Это продолжение той же темы — решение квадратных неравенств методом интервалов.

Ответ: \[ x\in(-\infty;\,-6]\cup[3;\,+\infty) \]

Решение:

1. Находим нули множителей: \[ x+6=0 \Rightarrow x=-6,\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3. \]

2. Отмечаем точки \(-6\) и \(3\) на числовой прямой. Они входят в ответ, потому что неравенство нестрогое (\(\ge 0\)), значит скобки будут квадратными.

3. Определяем знаки выражения \((x+6)(x-3)\) на промежутках: \[ (-\infty;-6):\ +,\qquad (-6;3):\ -,\qquad (3;+\infty):\ +. \]

4. Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю, то есть со знаком «+»: \[ (-\infty;-6]\ \text{и}\ [3;+\infty). \]

Проверка: возьмём \(x=0\): \[ (0+6)(0-3)=6\cdot(-3)=-18<0, \] значит \(0\) не входит в ответ — всё верно.

В поле ответа нужно выбрать: \[ (-\infty;-6]\cup[3;+\infty). \]

Это продолжение той же темы — метод интервалов для квадратного неравенства.

Ответ: первый вариант — \[ x\in\left(-\infty;\frac18\right]\cup\left[\frac13;+\infty\right). \]

Краткое объяснение:

Нули множителей: \[ x-\frac13=0 \Rightarrow x=\frac13,\qquad x-\frac18=0 \Rightarrow x=\frac18. \]

Так как \(\frac18<\frac13\), на числовой прямой порядок точек такой: \(\frac18\), затем \(\frac13\).

Знаки выражения \(\left(x-\frac13\right)\left(x-\frac18\right)\): \[ \left(-\infty;\frac18\right):\ +,\qquad \left(\frac18;\frac13\right):\ -,\qquad \left(\frac13;+\infty\right):\ +. \]

Неравенство нестрогое (\(\ge 0\)), поэтому берём промежутки со знаком «+» и включаем сами корни: \[ \left(-\infty;\frac18\right]\cup\left[\frac13;+\infty\right). \]

Проверка: подставим \(x=0\): \[ \left(0-\frac13\right)\left(0-\frac18\right)=\left(-\frac13\right)\left(-\frac18\right)=\frac{1}{24}>0, \] значит точка \(0\) входит в ответ — всё верно.

Выбирай первый вариант.

Это продолжение той же темы — метод интервалов для квадратных неравенств (тот же блок «ДЗ 66»).

Ответ: \[ x\in(-\infty;\,-6)\cup(2;\,+\infty) \]

Ключевые шаги:

1. Находим нули множителей: \[ x+6=0 \Rightarrow x=-6,\qquad 2-x=0 \Rightarrow x=2. \]

2. Точки \(-6\) и \(2\) выколоты, так как неравенство строгое (\(<\)).

3. Важный момент — знак перед \(x\) во второй скобке. Перепишем: \[ (x+6)(2-x)=-(x+6)(x-2). \] Тогда исходное неравенство равносильно \[ -(x+6)(x-2)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x+6)(x-2)>0. \]

4. Знаки выражения \((x+6)(x-2)\): \[ (-\infty;-6):\ +,\qquad (-6;2):\ -,\qquad (2;+\infty):\ +. \] Нужен знак «+», поэтому берём внешние промежутки: \[ (-\infty;-6)\cup(2;+\infty). \]

Проверка:

• \(x=-7\): \((-1)\cdot 9=-9<0\) — подходит;
• \(x=0\): \(6\cdot 2=12>0\) — не подходит;
• \(x=3\): \(9\cdot(-1)=-9<0\) — подходит.

В поле ответа набирай: скобку \((\) , минус бесконечность, \(;\), \(-6\), \()\), знак объединения \(\cup\), \((2;+\infty)\).

Это продолжение той же темы — решение квадратных неравенств методом интервалов.

Ответ: \[ x\in(-6;\,2) \]

Решение:

1. Нули множителей: \[ x+6=0 \Rightarrow x=-6,\qquad 2-x=0 \Rightarrow x=2. \]

2. Так как неравенство строгое (\(>0\)), точки \(-6\) и \(2\) выколоты — скобки круглые.

3. Проверим знак на промежутках:

• при \(x=-7\): \((-1)\cdot 9=-9<0\);
• при \(x=0\): \(6\cdot 2=12>0\);
• при \(x=3\): \(9\cdot(-1)=-9<0\).

Значит выражение положительно между корнями: \[ (-6;\,2). \]

Проверка: \(x=0\) подходит, а \(x=-7\) и \(x=3\) — нет. Ответ верный.

В поле ответа нужно ввести: \[ (-6;2) \]

То есть: круглая скобка, \(-6\), точка с запятой, \(2\), закрывающая круглая скобка.