Понимаю: разберём не «что получилось», а почему. Работают два правила:

\[ \log_a b = c \iff a^{c}=b, \qquad \log_{a^{n}} b^{m}=\frac{m}{n}\log_a b \]

То есть число под логарифмом надо записать степенью основания.

1. \(32=2^5\) → \(\log_2 2^5=5\).
2. \(169=13^2\) → \(2\).
3. \(100000=10^5\) → \(5\).
4. \(64=2^6,\ 4=2^2\) → \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).
5. любое \(a>0\): \(a^0=1\) → \(0\).
6. \(\frac{1}{64}=4^{-3}\) → \(-3\).
7. \(25=5^2,\ 125=5^3\) → \(\log_{5^2}5^3=\frac{3}{2}\).
8. \(\sqrt{1000}=10^{3/2}\), а \(\frac{1}{10}=10^{-1}\). Произведение степеней: \(10^{3/2-1}=10^{1/2}\) → \(\frac{1}{2}\).
9. корень — это степень \(1/5\): \(\sqrt[5]{25}=25^{1/5}=(5^2)^{1/5}=5^{2/5}\). Значит \(15\cdot\frac{2}{5}=6\).
10. \(128=2^7\), коэффициент \(\frac23\) множит логарифм: \(\frac23\cdot7=\frac{14}{3}\).
11. сначала внутренний: \(\log_2 8=3\). Потом \(\log_{27}3=\log_{3^3}3=\frac{1}{3}\).
12. \(\log_{17}289=2\), \(\log_4 2=\frac12\); \(\log_5 625=4\), значит \(\frac14\cdot4=1\). Итог: \(\frac12-1=-\frac12\).

Ответы: 5; 2; 5; \(\frac13\); 0; \(-3\); \(\frac32\); \(\frac12\); 6; \(\frac{14}{3}\); \(\frac13\); \(-\frac12\).

Решение по пунктам

1) \(\log_{2}32\) \[32=2^5 \Rightarrow \log_{2}32=\log_{2}2^5=5\]

2) \(\log_{13}169\) \[169=13^2 \Rightarrow \log_{13}169=2\]

3) \(\log_{10}100000\) \[100000=10^5 \Rightarrow \log_{10}100000=5\]

4) \(\log_{64}4\) \[64=4^3 \Rightarrow \log_{64}4=\log_{4^3}4=\frac{1}{3}\] (или: \(64=2^6,\ 4=2^2 \Rightarrow \frac{2}{6}=\frac13\))

5) \(\log_{8}1\) \[8^0=1 \Rightarrow \log_{8}1=0\]

6) \(\log_{4}\frac{1}{64}\) \[\frac{1}{64}=4^{-3} \Rightarrow \log_{4}\frac{1}{64}=-3\] (проверка: \(4^{-3}=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}\))

7) \(\log_{25}125\) \[25=5^2,\quad 125=5^3 \Rightarrow \log_{5^2}5^3=\frac{3}{2}\] (проверка: \(25^{3/2}=\left(\sqrt{25}\right)^3=5^3=125\))

8) \(\log_{10}\left(\frac{1}{10}\sqrt{1000}\right)\) \[\sqrt{1000}=1000^{1/2}=\left(10^3\right)^{1/2}=10^{3/2},\qquad \frac{1}{10}=10^{-1}\] \[\frac{1}{10}\sqrt{1000}=10^{-1}\cdot 10^{3/2}=10^{3/2-1}=10^{1/2}\] \[\log_{10}10^{1/2}=\frac{1}{2}\]

9) \(15\log_{5}\sqrt[5]{25}\) \[\sqrt[5]{25}=25^{1/5}=\left(5^2\right)^{1/5}=5^{2/5}\] \[15\log_{5}5^{2/5}=15\cdot\frac{2}{5}=6\]

10) \(\frac{2}{3}\log_{2}128\) \[128=2^7 \Rightarrow \log_{2}128=7\] \[\frac{2}{3}\cdot 7=\frac{14}{3}\]

11) \(\log_{27}\log_{2}8\) Внутренний: \(\log_{2}8=3\), так как \(2^3=8\). Внешний: \(\log_{27}3=\log_{3^3}3=\frac{1}{3}\)

12) \(\log_{4}\log_{17}289-\frac{1}{4}\log_{5}625\) \[\log_{17}289=2\ (17^2=289) \Rightarrow \log_{4}2=\frac{1}{2}\] \[\log_{5}625=4\ (5^4=625) \Rightarrow \frac{1}{4}\cdot 4=1\] \[\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\]

Ответы: 1) 5; 2) 2; 3) 5; 4) \(\frac13\); 5) 0; 6) \(-3\); 7) \(\frac32\); 8) \(\frac12\); 9) 6; 10) \(\frac{14}{3}\); 11) \(\frac13\); 12) \(-\frac12\).