ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Вычислить: 1) log₂ 32; 2) log₁₃ 169; 3) log₁₀ 100000; 4) log₆₄ 4; 5) log₈ 1; 6) log₄ 1/64; 7) log₂₅ 125;

Краткие ответы:

1. \(5\)
2. \(2\)
3. \(5\)
4. \(\frac{1}{3}\)
5. \(0\)
6. \(-3\)
7. \(\frac{3}{2}\)
8. \(\frac{1}{2}\)
9. \(6\)
10. \(\frac{14}{3}\)
11. \(\frac{1}{3}\)
12. \(-\frac{1}{2}\)

Как решать. По определению: \[ \log_a b=c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c=b. \] То есть логарифм — это степень, в которую нужно возвести основание. Если \(a=p^m\), а \(b=p^n\), то \(\log_a b=\frac{n}{m}\).

\[ \begin{aligned} \log_2 32&=\log_2 2^5=5,\\ \log_{13}169&=\log_{13}13^2=2,\\ \log_{10}100000&=\log_{10}10^5=5,\\ \log_{64}4&=\log_{4^3}4=\frac13,\\ \log_8 1&=0,\\ \log_4\frac1{64}&=\log_4 4^{-3}=-3,\\ \log_{25}125&=\log_{5^2}5^3=\frac32,\\ \log_{10}\left(\frac1{10}\sqrt{1000}\right) &=\log_{10}\left(10^{-1}\cdot10^{3/2}\right)=\frac12,\\ 15\log_5\sqrt[5]{25} &=15\log_5\left(5^{2/5}\right) =15\cdot\frac25=6,\\ \frac23\log_2 128&=\frac23\cdot7=\frac{14}{3},\\ \log_{27}\log_2 8&=\log_{27}3=\frac13,\\ \log_4\log_{17}289-\frac14\log_5 625 &=\log_4 2-1 =\frac12-1=-\frac12. \end{aligned} \]

В заданиях 11 и 12 сначала вычисляется внутренний логарифм. Проверка: \(64^{1/3}=4\), \(25^{3/2}=125\), \(27^{1/3}=3\).