Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

1. \(A \cap B\)

а) \((1;\,7)\)
б) \(\{5\}\)
в) \((-1;\,9)\)
г) \(\{2\}\) — единственное чётное простое число
д) множество квадратов
е) \(\{10,11,12,13,14,15,16\}\)
ж) \(\{1,4,9,16,25,36\}\)
з) числа, кратные 72 (так как \(\text{НОК}(18;24)=72\))
и) числа, кратные 15: \(\{15n \mid n \in \mathbb{N}\}\)
к) \(A \cap B = B = \{4n+3 \mid n \in \mathbb{N}\}\), ведь \(4n+3=2(2n+1)+1\) — нечётное
л) \(\{12k+5 \mid k=0,1,2,\dots\}\)

2. \(\text{НОК}(4;\,10;\,75)=2^2\cdot 3\cdot 5^2=300\), значит \(A \cap B \cap C\) — множество целых чисел, кратных 300.

Ниже — ответы с чертежами на числовой прямой (масштаб условный; ● — точка входит, ○ — не входит).

Общая схема пересечения (диаграмма Эйлера–Венна)

   ┌───────────┐
   │  A  ┌─────┼──────┐
   │     │A∩B  │   B  │
   └─────┼─────┘      │
         └────────────┘

1. \(A \cap B\):

а) \((1;\,7)\)

       1           7
 ──────○═══════════○──────→

б) \(\{5\}\)

            5
 ───────────●───────────→

в) \((-1;\,9)\)

      -1              9
 ──────○══════════════○─────→

г) \(\{2\}\) — при \(A\) = простые числа, \(B\) = чётные числа (на прямой не изображается, только точкой-«островком» в диаграмме Венна: единственное чётное простое — 2).

д) \(A \cap B\) = множество квадратов (диаграмма Венна, см. выше).

е) \(\{10;11;12;13;14;15;16\}\)

   9  10  11  12  13  14  15  16  17
 ─·──●───●───●───●───●───●───●──·─→

ж) \(\{1;4;9;16;25;36\}\)

  0  1  4  9  16    25     36
 ─·──●──●──●──●─────●──────●──→

з) числа, кратные 72 (\(\text{НОК}(18;24)=72\))

   0    72   144   216
 ──●─────●────●─────●──→

и) числа, кратные 15: \(\{15n \mid n \in \mathbb{N}\}\)

   0   15   30   45   60
 ──●────●────●────●────●──→

к) \(A \cap B = B = \{4n+3\}\): при \(n=0,1,2,3,\dots\)

   3    7    11   15
 ──●────●────●────●──→

л) \(\{12k+5 \mid k=0,1,2,\dots\}\)

   5    17   29   41
 ──●────●────●────●──→

2. \(\text{НОК}(4;10;75)=2^2\cdot 3\cdot 5^2=300\), значит \(A\cap B\cap C\) — все целые числа, кратные 300:

   0    300   600   900
 ──●─────●─────●─────●──→

Решение

1. Пересечение \(A\cap B\) — это элементы, которые входят и в \(A\), и в \(B\).

а) Оба множества — промежутки. Пересечение открытых промежутков: берём больший левый конец и меньший правый. Левые концы \(1\) и \(-1\) → берём \(1\); правые \(9\) и \(7\) → берём \(7\); концы не входят: \[ A\cap B=(1;\,7) \]

б) Единственный общий элемент: \(A\cap B=\{5\}\).

в) Один промежуток целиком лежит внутри другого, поэтому в пересечении остаётся меньший: \[ A\cap B=(-1;\,9) \]

г) \(A\) — простые числа, \(B\) — чётные. Чётное число делится на \(2\), поэтому единственное чётное простое — \(2\): \[ A\cap B=\{2\} \]

д) Квадрат \(n^2\) чётный тогда и только тогда, когда \(n\) чётное, значит общие элементы — квадраты чётных чисел.

е) Натуральные числа, которые больше \(9\) и меньше \(17\): \[ A\cap B=\{10;11;12;13;14;15;16\} \]

ж) Квадраты, не превосходящие \(36\): \[ 1^2,\;2^2,\;3^2,\;4^2,\;5^2,\;6^2 \;\Rightarrow\; \{1;4;9;16;25;36\} \]

з) Общие кратные — кратные наименьшего общего кратного: \[ 18=2\cdot3^2,\quad 24=2^3\cdot3,\quad \text{НОК}=2^3\cdot3^2=72 \] Значит \(A\cap B\) — числа, кратные \(72\).

и) Общие кратные \(3\) и \(5\): \[ \text{НОК}(3;5)=15 \;\Rightarrow\; A\cap B=\{15n\mid n\in\mathbb{N}\} \]

к) Проверим, что числа вида \(4n+3\) нечётные: \[ 4n+3=2(2n+1)+1 \] Значит \(B\subseteq A\), поэтому \(A\cap B=B=\{4n+3\mid n\in\mathbb{N}\}\).

л) Общие элементы — числа, дающие остаток \(1\) при делении на \(4\) и остаток \(5\) при делении на \(6\). Число \(5\) подходит (\(5=4\cdot1+1\), \(5=6\cdot0+5\)), а шаг равен \[ \text{НОК}(4;6)=12 \;\Rightarrow\; A\cap B=\{12k+5\mid k=0,1,2,\dots\} \]

2. Числа, кратные одновременно \(4\), \(10\) и \(75\), — это числа, кратные их НОК: \[ 4=2^2,\quad 10=2\cdot5,\quad 75=3\cdot5^2 \] \[ \text{НОК}=2^2\cdot3\cdot5^2=300 \] Значит \(A\cap B\cap C\) — множество целых чисел, кратных \(300\): \[ A\cap B\cap C=\{300n\mid n\in\mathbb{Z}\} \]

Если в тетради обозначения множеств записаны иначе — пришли фото условия, подгоню запись под него.