виконати з поясненням

Короткі відповіді

Ключові правила

Для логарифмів з однаковою основою:

\[ \log_a b+\log_a c=\log_a(bc),\qquad \log_a b-\log_a c=\log_a\frac{b}{c}. \]

Основна логарифмічна тотожність:

\[ a^{\log_a b}=b. \]

Вона означає: \(\log_a b\) — це показник степеня, у який треба піднести \(a\), щоб отримати \(b\).

Якщо основа є степенем:

\[ (a^m)^{\log_a b}=a^{m\log_a b}=(a^{\log_a b})^m=b^m. \]

Розв’язання № 9–14

9.
\[ \log_2 8+\log_2 4=\log_2(8\cdot4)=\log_2 32=5. \]

10.
\[ \log_3 27-\log_3 9=\log_3\frac{27}{9}=\log_3 3=1. \]

11.
\[ \log_5 20+\log_5 5=\log_5(20\cdot5)=\log_5 100. \]

Оскільки \(100=25\cdot4=5^2\cdot4\), то

\[ \log_5 100=\log_5 5^2+\log_5 4=2+\log_5 4. \]

Зверни увагу: у №11 стоїть саме «плюс», тому відповідь не ціла. Якби там був мінус, дістали б \(\log_5\frac{20}{5}=\log_5 4\).

12.
\[ \log_4 32-\log_4 2=\log_4\frac{32}{2}=\log_4 16=2. \]

13.
\[ \log_2 12-\log_2 3=\log_2\frac{12}{3}=\log_2 4=2. \]

14.
\[ \log_3 18-\log_3 2=\log_3\frac{18}{2}=\log_3 9=2. \]

Розв’язання № 15–20

Тут основа степеня перетворюється так, щоб спрацювала тотожність \(a^{\log_a b}=b\).

15.
\[ 25^{\log_5 3}=(5^2)^{\log_5 3} =5^{2\log_5 3} =(5^{\log_5 3})^2 =3^2=9. \]

16.
\[ 8^{\log_2 5}=(2^3)^{\log_2 5} =2^{3\log_2 5} =(2^{\log_2 5})^3 =5^3=125. \]

17.
\[ 16^{\log_4 7}=(4^2)^{\log_4 7} =4^{2\log_4 7} =(4^{\log_4 7})^2 =7^2=49. \]

18.
\[ 9^{\log_3 4}=(3^2)^{\log_3 4} =3^{2\log_3 4} =(3^{\log_3 4})^2 =4^2=16. \]

19.
\[ 2^{3\log_2 5}=(2^{\log_2 5})^3=5^3=125. \]

20.
\[ 36^{\log_6 7}=(6^2)^{\log_6 7} =6^{2\log_6 7} =(6^{\log_6 7})^2 =7^2=49. \]

Перевірка

Наприклад, у №15:

\[ 5^{2\log_5 3}=5^{\log_5 9}=9, \]

тобто \(25^{\log_5 3}=9\). Аналогічно в №16: \(8=2^3\), тому \(8^{\log_2 5}=2^{3\log_2 5}=5^3=125\).