2. Обчисли значення виразу 9. log₂ 8 + log₂ 4 10. log₃ 27 − log₃ 9 11. log₅ 20 + log₅ 5

Краткие ответы:

• 9. \(5\)
• 10. \(1\)
• 11. \(\log_5 100=2+\log_5 4\approx 2{,}861\)
• 12. \(2\)
• 13. \(2\)
• 14. \(2\)
• 15. \(9\)
• 16. \(125\)
• 17. \(49\)
• 18. \(16\)
• 19. \(125\)
• 20. \(49\)

В №11 на фото именно \(+\log_5 5\), поэтому точное значение не целое: \(\log_5 100\).

Как решать

Для суммы и разности логарифмов с одинаковым основанием: \[ \log_a x+\log_a y=\log_a(xy),\qquad \log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}. \]

Отсюда:

• 9. \(\log_2(8\cdot4)=\log_2 32=5\);
• 10. \(\log_3\frac{27}{9}=\log_3 3=1\);
• 11. \(\log_5(20\cdot5)=\log_5 100\);
• 12. \(\log_4\frac{32}{2}=\log_4 16=2\);
• 13. \(\log_2\frac{12}{3}=\log_2 4=2\);
• 14. \(\log_3\frac{18}{2}=\log_3 9=2\).

В заданиях 15–20 используем: \[ a^{\log_a b}=b,\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \]

• 15. \(25^{\log_5 3}=(5^2)^{\log_5 3}=(5^{\log_5 3})^2=3^2=9\);
• 16. \(8^{\log_2 5}=(2^3)^{\log_2 5}=(2^{\log_2 5})^3=5^3=125\);
• 17. \(16^{\log_4 7}=(4^2)^{\log_4 7}=(4^{\log_4 7})^2=7^2=49\);
• 18. \(9^{\log_3 4}=(3^2)^{\log_3 4}=(3^{\log_3 4})^2=4^2=16\);
• 19. \(2^{3\log_2 5}=(2^{\log_2 5})^3=5^3=125\);
• 20. \(36^{\log_6 7}=(6^2)^{\log_6 7}=(6^{\log_6 7})^2=7^2=49\).

Проверка для примера 15: \(\log_5 9=2\log_5 3\), поэтому \(25^{\log_5 3}=9\).