номер 6-7 и у нас молдавская программа

Question

Расшифровка фото нейросетью:
6. Simplificați raportul algebric:
a) $\frac{14XY}{2Y+6XY}$; b) $\frac{6XY}{3X+9XY}$; c) $\frac{7X+7Y}{5X+5Y}$; d) $\frac{2X+2Y}{6X+6Y}$; e) $\frac{3X-6Y}{8Y-4X}$; f) $\frac{4X-8}{2Y-XY}$;
g) $\frac{8X^{2}-4XY}{12X^{3}}$; h) $\frac{9XY-12X^{3}}{36X}$; i) $\frac{X^{2}-X}{3X-3}$; j) $\frac{X-3Y}{X^{2}-3XY}$; k) $\frac{X^{2}+X}{4X+4}$; l) $\frac{3X^{3}-3XY^{2}}{6YX^{2}+6Y^{3}}$.

7. Simplificați raportul algebric:
a) $\frac{3X-3}{X^{2}-1}$; b) $\frac{X^{2}-9}{3X+9}$; c) $\frac{X^{2}-4}{2X+4}$; d) $\frac{X^{2}-25}{5-X}$;
e) $\frac{X^{2}-4X+4}{3X-6}$; f) $\frac{Y^{2}-16}{3Y+12}$; g) $\frac{X^{2}+2X+1}{X^{2}-1}$; h) $\frac{X^{2}+10X+25}{X^{2}-25}$.

Answer

Ответы (при значениях переменных, где исходные знаменатели не равны нулю).

6.
a) $\frac{7X}{1+3X}$;
b) $\frac{2Y}{1+3Y}$;
c) $\frac75$;
d) $\frac13$;
e) $-\frac34$;
f) $-\frac4Y$;
g) $\frac{2X-Y}{3X^2}$;
h) $\frac{3Y-4X^2}{12}$;
i) $\frac{X}{3}$;
j) $\frac1X$;
k) $\frac{X}{4}$;
l) $\frac{X(X-Y)(X+Y)}{2Y(X^2+Y^2)}$.

7.
a) $\frac3{X+1}$;
b) $\frac{X-3}{3}$;
c) $\frac{X-2}{2}$;
d) $-X-5$;
e) $\frac{X-2}{3}$;
f) $\frac{Y-4}{3}$;
g) $\frac{X+1}{X-1}$;
h) $\frac{X+5}{X-5}$.

Как это делать

1. Раскладываем числитель и знаменатель на множители.

2. Сокращаем только одинаковые множители, а не отдельные слагаемые.

3. Область допустимых значений не расширяем: значения, при которых исходный знаменатель был равен нулю, всё равно исключаются.

Например:
$$
\frac{14XY}{2Y+6XY}=\frac{14XY}{2Y(1+3X)}=\frac{7X}{1+3X}.
$$

Знак меняется так:
$$
\frac{3X-6Y}{8Y-4X}
=\frac{3(X-2Y)}{-4(X-2Y)}
=-\frac34.
$$

Разность квадратов:
$$
\frac{X^2-9}{3X+9}
=\frac{(X-3)(X+3)}{3(X+3)}
=\frac{X-3}{3}.
$$

Полный квадрат:
$$
\frac{X^2-4X+4}{3X-6}
=\frac{(X-2)^2}{3(X-2)}
=\frac{X-2}{3}.
$$

В 7d:
$$
\frac{X^2-25}{5-X}
=\frac{(X-5)(X+5)}{-(X-5)}
=-X-5.
$$

В 6l на фото я читаю $3X^3-3XY^2$ и $6YX^2+6Y^3$, поэтому дальше общий множитель $X^2-Y^2$ не сокращается с $X^2+Y^2$. Если в твоём учебнике знаки другие, но есть одинаковый множитель $X^2-Y^2$, ответ станет $\frac{X}{2Y}$.

Ограничения для 7: a) $X\ne\pm1$; b) $X\ne-3$; c) $X\ne-2$; d) $X\ne5$; e) $X\ne2$; f) $Y\ne-4$; g) $X\ne\pm1$; h) $X\ne\pm5$.

Проверка 7d: при $X=6$:
$$
\frac{36-25}{5-6}=-11,\qquad -6-5=-11.
$$
Сходится.