На луче, который начинается в начале координатной системы, отложена точка A(−18; 18). Определи, какой угол α образует OA с положительной полуосью Ox.

Краткий ответ: \(\alpha = 45^\circ\).

Решение

1. Точка \(A(7;\,7)\) лежит в первой четверти: \(x>0\), \(y>0\). Значит, угол острый — от \(0^\circ\) до \(90^\circ\).

2. Тангенс угла наклона луча \(OA\): \[ \tan\alpha=\frac{y}{x}=\frac{7}{7}=1. \] Острый угол, у которого тангенс равен 1, — это \(45^\circ\).

3. Так как луч идёт вправо-вверх (в I четверть), поправка не нужна: \[ \alpha=45^\circ. \]

Проверка: при повороте точки \((7\sqrt2;\,0)\) на \(45^\circ\) получаем \(x=7\sqrt2\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}=7\), \(y=7\sqrt2\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}=7\) — то есть \(A(7;7)\). ✔

Сравни с прошлой задачей: там было \(A(-18;18)\) — вторая четверть, поэтому \(\alpha=180^\circ-45^\circ=135^\circ\). Здесь знаки \(x\) и \(y\) одинаковые положительные, поэтому угол просто \(45^\circ\). Общий приём: сначала четверть по знакам координат, потом острый угол по \(\left|\frac{y}{x}\right|\), затем поправка на четверть.

Краткий ответ: \(\alpha = 120^\circ\).

Решение

1. Точка \(A(-4;\,4\sqrt3)\) лежит во второй четверти: \(x<0\), \(y>0\). Значит, угол тупой: \(90^\circ<\alpha<180^\circ\).

2. Найдём длину \(OA\): \[ r=\sqrt{(-4)^2+(4\sqrt3)^2}=\sqrt{16+48}=\sqrt{64}=8. \]

3. По определению косинуса и синуса угла с положительной полуосью \(Ox\): \[ \cos\alpha=\frac{x}{r}=\frac{-4}{8}=-\frac12,\qquad \sin\alpha=\frac{y}{r}=\frac{4\sqrt3}{8}=\frac{\sqrt3}{2}. \] Этим значениям соответствует угол \[ \alpha=120^\circ. \]

Проверка через тангенс: \[ \tan\alpha=\frac{y}{x}=\frac{4\sqrt3}{-4}=-\sqrt3. \] Модуль тангенса \(\sqrt3\) даёт острый угол \(60^\circ\), а во второй четверти: \[ \alpha=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \checkmark \]

Сравни с предыдущими: если точка в I четверти (как \(A(7;7)\)), угол острый; если во II (как здесь и как \(A(-18;18)\)), берём \(180^\circ\) минус острый угол. Здесь острый угол равен \(60^\circ\), поэтому ответ \(120^\circ\).

Краткий ответ: \(A\left(33;\,33\sqrt3\right)\).

Решение

Это обратная задача к предыдущим: там по координатам искали угол, а здесь по углу и длине \(OA\) ищем координаты.

1. Точка \(A\) лежит в I четверти, \(\alpha=60^\circ\), \(OA=66\). В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(OA\): \[ x_A=OA\cdot\cos\alpha,\qquad y_A=OA\cdot\sin\alpha. \]

2. Подставляем: \[ x_A=66\cdot\cos 60^\circ=66\cdot\frac12=33, \] \[ y_A=66\cdot\sin 60^\circ=66\cdot\frac{\sqrt3}{2}=33\sqrt3. \]

3. Значит, \[ A\left(33;\,33\sqrt3\right). \]

Проверка (как в прошлых задачах — через четвёрть и тангенс): \(x>0,\ y>0\) — I четверть, угол острый ✔. Длина: \[ \sqrt{33^2+(33\sqrt3)^2}=\sqrt{1089+3267}=\sqrt{4356}=66=OA \checkmark \] \[ \tan\alpha=\frac{33\sqrt3}{33}=\sqrt3 \Rightarrow \alpha=60^\circ \checkmark \]

Запомни схему: координаты точки по углу и радиусу — это \(x=r\cos\alpha,\ y=r\sin\alpha\); обратно, угол по координатам — через \(\tan\alpha=\frac{y}{x}\) и поправку на четверть. Числа \(33\sqrt3\approx57{,}2\) в поле ответа вводи, скорее всего, как \(33\sqrt3\) (или уточни, требует ли система десятичную дробь).

Ответы по пунктам:

Почему так — три «кита»

Все определения выходят из одного прямоугольного треугольника с гипотенузой \(c\), противолежащим катетом \(a\) и прилежащим катетом \(b\):

\[ \sin\alpha=\frac{a}{c},\qquad \cos\alpha=\frac{b}{c},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b},\qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{b}{a}. \]

1. Только катеты (\(a\) и \(b\)) — гипотенуза не участвует ни в тангенсе, ни в котангенсе. Отсюда ответ п. 1.
2. В формулах есть гипотенуза — это только sin и cos, ведь у обоих \(c\) стоит внизу.
3. Противолежащий катет + гипотенуза — это ровно \(\sin\alpha=\frac{a}{c}\).
4. Прилежащий катет + гипотенуза — это \(\cos\alpha=\frac{b}{c}\).
5. Гипотенуза всегда в знаменателе — потому что она самая длинная сторона, а синус и косинус острого угла не больше 1. Если бы \(c\) стояла в числителе, дробь была бы больше 1.

Связь с предыдущими задачами: там мы писали \(x_A=OA\cdot\cos\alpha\), \(y_A=OA\cdot\sin\alpha\). Как раз \(x\) — прилежащий катет (идёт с косинусом), \(y\) — противолежащий (идёт с синусом), а \(OA=66\) — гипотенуза, и она в знаменателе: \(\cos\alpha=\frac{x}{OA}\), \(\sin\alpha=\frac{y}{OA}\).

Мнемоника: «Синус — против, косинус — рядом, тангенс — без гипотенузы».