№ 6.8 1) y = (|x| + 2)²
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
№6.8
- \(y = (|x| + 2)^{2}\)
Кратко. На фото есть только сама функция \(y=(|x|+2)^2\) (№ 6.8, пункт 1), а формулировки задания — «построить график», «найти область значений», «исследовать» — в кадр не попало. Ниже — свойства, которые нужны почти в любом варианте.
Ключевые шаги
Раскроем квадрат: \((|x|+2)^2=|x|^2+4|x|+4\), то есть \[ y=x^2+4|x|+4. \]
Область определения: модуль и квадрат определены при любых \(x\), значит \(D(y)=\mathbb{R}\).
Чётность: \(y(-x)=x^2+4|-x|+4=y(x)\) — функция чётная, график симметричен относительно оси \(Oy\).
Оценка снизу: \(|x|\ge 0\), поэтому \(|x|+2\ge 2\), а квадрат только растёт: \[ y\ge 2^2=4. \] Равенство достигается при \(x=0\), значит \(y_{\min}=4\), а область значений \(E(y)=[4;+\infty)\).
Поведение по частям:
- при \(x\ge 0\): \(y=(x+2)^2\) — ветвь параболы с вершиной \((-2;0)\), берём только \(x\ge 0\);
- при \(x<0\): \(y=(2-x)^2=x^2-4x+4\).
Отсюда: убывает на \((-\infty;0]\), возрастает на \([0;+\infty)\), график — две симметричные дуги парабол, «склеенные» в точке \((0;4)\).
Проверка. \(x=0:\ y=4\); \(x=1:\ y=3^2=9\); \(x=-1:\ y=3^2=9\) — значения совпали, симметрия и минимум подтверждаются.
Чтобы я решил ровно то, что задано, уточни: что именно требуется сделать с функцией — построить график, найти область значений или провести полное исследование?
Обсуждение
2 сообщенияПострой функцию
График \(y=(|x|+2)^2\)
План построения
- Строим вспомогательную параболу \(y=(x+2)^2\) — её вершина в точке \((-2;0)\), ветви вверх.
- Берём только правую часть этой параболы при \(x\ge 0\): она начинается в точке \((0;4)\) и уходит вверх.
- Отражаем эту часть симметрично относительно оси \(Oy\) — получаем левую ветвь (функция чётная).
- Точка «стыка» \((0;4)\) — самая низкая, в ней график образует излом (уголок): слева производная равна \(-4\), справа \(+4\).
Таблица точек
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(25\) | \(16\) | \(9\) | \(6{,}25\) | \(4\) | \(6{,}25\) | \(9\) | \(16\) | \(25\) |
Эскиз
y
25 | * *
| \ /
20 | \ /
16 | * *
| \ /
9 | * *
| \ /
6 | * *
| \ /
4 | *---* <- (0; 4), минимум
+----+----+----+----+----+---> x
-3 -2 -1 0 1 2 3
Ветви парабол «склеены» в точке \((0;4)\), ниже этой точки графика нет.
Что важно отметить на графике
- \(D(y)=\mathbb{R}\), \(E(y)=[4;+\infty)\);
- нулей нет, ось \(Oy\) пересекается в точке \((0;4)\);
- убывает на \((-\infty;0]\), возрастает на \([0;+\infty)\);
- при больших \(|x|\) график ведёт себя как \(y=x^2\) (уходит вверх «параболой»);
- асимптот нет.
Проверка: \(x=1\) и \(x=-1\) дают одинаковое \(y=9\), \(x=2\) и \(x=-2\) — \(y=16\); симметрия и минимум \(y_{\min}=4\) выполняются, значит построение верное.
