реши это
Сверь числа и знаки с фото.
119 Прямая \(OA\) перпендикулярна к плоскости \(OBC\), и точка \(O\) является серединой отрезка \(AD\). Докажите, что: а) \(AB = DB\); б) \(AB = AC\), если \(OB = OC\); в) \(OB = OC\), если \(AB = AC\).
Доказательство.
Главное: \(OA\perp (OBC)\), поэтому \(OA\) перпендикулярна любой прямой плоскости \(OBC\), проходящей через \(O\). В частности, \[ OA\perp OB,\qquad OA\perp OC. \] Значит, треугольники \(AOB\) и \(AOC\) прямоугольные с прямым углом при \(O\).
а) По теореме Пифагора: \[ AB^2=AO^2+OB^2. \] Так как \(O\) — середина \(AD\), то \(AO=DO\). Кроме того, \(DO\) лежит на прямой \(AO\), поэтому \(DO\perp OB\). Тогда \[ DB^2=DO^2+OB^2=AO^2+OB^2=AB^2. \] Следовательно, \(AB=DB\).
б) Если \(OB=OC\), то \[ AB^2=AO^2+OB^2=AO^2+OC^2=AC^2. \] Поэтому \(AB=AC\).
в) Если \(AB=AC\), то \(AB^2=AC^2\), то есть \[ AO^2+OB^2=AO^2+OC^2. \] Отсюда \(OB^2=OC^2\), а поскольку длины положительны, \[ OB=OC. \]
Принцип: перпендикуляр к плоскости даёт прямоугольные треугольники; равенства наклонных удобно сравнивать через теорему Пифагора.
Обсуждение
4 сообщениянапиши дано к этой задаче и рисунок
Дано:
\[ OA\perp (OBC), \] точки \(B\) и \(C\) лежат в плоскости \((OBC)\), а \(A\notin (OBC)\).
Точка \(D\) симметрична точке \(A\) относительно \(O\), то есть \(A,O,D\) лежат на одной прямой и \[ AO=OD. \]
Доказать:
\[ \text{а) } AB=DB; \]
\[ \text{б) если } OB=OC,\text{ то } AB=AC; \]
\[ \text{в) если } AB=AC,\text{ то } OB=OC. \]
Рисунок-схема:
A
●
/|\
/ | \
/ | \
B ●————/———O———\————● C
\ | /
\ | /
\|/
● D
OA ⟂ (OBC), AO = OD
Как нарисовать: плоскость \((OBC)\) изобрази наклонным параллелограммом, внутри отметь \(O\), по бокам — \(B\) и \(C\). Через \(O\) проведи прямую \(AD\): точка \(A\) над плоскостью, \(D\) — под ней, причём \(AO=OD\). Соедини \(A\) с \(B\) и \(C\), а \(D\) — с \(B\) и \(C\). У точки \(O\) отметь прямой угол между \(OA\) и плоскостью.
реши еще 118 с дано и решением
На фото №118 — это та же задача, которую мы уже разбирали. Ниже полное оформление.
Дано:
\[ OA\perp (OBC), \] точка \(O\) — середина отрезка \(AD\), то есть \(A,O,D\) лежат на одной прямой и \[ AO=OD. \] Точки \(B\) и \(C\) лежат в плоскости \((OBC)\).
Доказать:
\[ \text{а) } AB=DB; \]
\[ \text{б) если } OB=OC,\text{ то } AB=AC; \]
\[ \text{в) если } AB=AC,\text{ то } OB=OC. \]
Доказательство.
Так как \(OA\perp (OBC)\), прямая \(OA\) перпендикулярна любой прямой плоскости \((OBC)\), проходящей через \(O\). Поэтому \[ OA\perp OB,\qquad OA\perp OC. \] Точки \(A,O,D\) лежат на одной прямой, значит, \(OD\) — та же прямая, что и \(OA\). Следовательно, \[ OD\perp OB,\qquad OD\perp OC, \] а также \[ AO=OD. \]
а) Рассмотрим прямоугольные треугольники \(AOB\) и \(DOB\). У них:
\[ \angle AOB=\angle DOB=90^\circ, \] \[ AO=DO, \] \[ OB\text{ — общий катет.} \]
Значит, треугольники равны по двум катетам, поэтому \[ AB=DB. \]
б) Пусть \(OB=OC\). Рассмотрим прямоугольные треугольники \(AOB\) и \(AOC\). У них:
\[ AO\text{ — общий катет,} \] \[ OB=OC. \]
Следовательно, треугольники равны по двум катетам, значит, \[ AB=AC. \]
в) Пусть \(AB=AC\). По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников \(AOB\) и \(AOC\):
\[ AB^2=AO^2+OB^2, \] \[ AC^2=AO^2+OC^2. \]
Так как \(AB=AC\), то \[ AO^2+OB^2=AO^2+OC^2. \] Отсюда \[ OB^2=OC^2. \] Длины отрезков положительны, поэтому \[ OB=OC. \]
Что и требовалось доказать.
