Вар 3 Сравнить: log0,6 0,5 и 1; lg 30 и lg 5; 0,3^6 и 0,3^2,7; π^-2 и π^-3; log0,6 3,1 и log0,6 π; (1/10)^4 и 10^-3

Краткий ответ

1. \(\log_{0{,}6}0{,}5>1\)
2. \(\lg 30>\lg 5\)
3. \(0{,}3^{6}<0{,}3^{2{,}7}\)
4. \(\pi^{-2}>\pi^{-3}\)
5. \(\log_{0{,}6}3{,}1>\log_{0{,}6}\pi\)
6. \(\left(\frac{1}{10}\right)^{4}<10^{-3}\)

Главная идея (одна на все шесть столбцов)

Обе части сравнения записываем как значения одной и той же функции \(y=f(x)\) при разных аргументах \(x_{1}\) и \(x_{2}\). Тогда сравнение значений заменяется сравнением аргументов:

• если \(f\) возрастает (основание \(>1\)), то \(x_{1}>x_{2}\Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})\) — знак не меняется;
• если \(f\) убывает (основание \(<1\)), то \(x_{1}>x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})\) — знак меняется на противоположный.

Заполнение таблицы по столбцам

1) \(\log_{0{,}6}0{,}5\) и \(1\)

• Функция вида \(y=\log_{0{,}6}x\). Единицу тоже прячем в логарифм: \(1=\log_{0{,}6}0{,}6\).
• Сравниваем \(x_{1}=0{,}5\) и \(x_{2}=0{,}6\): \(0{,}5<0{,}6\).
• Основание \(0{,}6<1\), функция убывает → знак меняется.
• Вывод: \(\log_{0{,}6}0{,}5>\log_{0{,}6}0{,}6=1\).

2) \(\lg 30\) и \(\lg 5\)

• Функция \(y=\lg x\) (это \(\log_{10}x\)).
• Сравниваем \(x_{1}=30\) и \(x_{2}=5\): \(30>5\).
• Основание \(10>1\), функция возрастает → знак не меняется.
• Вывод: \(\lg 30>\lg 5\).

3) \(0{,}3^{6}\) и \(0{,}3^{2{,}7}\)

• Показательная функция \(y=0{,}3^{x}\).
• Сравниваем \(x_{1}=6\) и \(x_{2}=2{,}7\): \(6>2{,}7\).
• Основание \(0{,}3<1\), функция убывает → знак меняется.
• Вывод: \(0{,}3^{6}<0{,}3^{2{,}7}\).

4) \(\pi^{-2}\) и \(\pi^{-3}\)

• Показательная функция \(y=\pi^{x}\).
• Сравниваем \(x_{1}=-2\) и \(x_{2}=-3\): \(-2>-3\) (минус ближе к нулю — число больше).
• Основание \(\pi\approx3{,}14>1\), функция возрастает → знак не меняется.
• Вывод: \(\pi^{-2}>\pi^{-3}\).

5) \(\log_{0{,}6}3{,}1\) и \(\log_{0{,}6}\pi\)

• Функция \(y=\log_{0{,}6}x\).
• Сравниваем \(x_{1}=3{,}1\) и \(x_{2}=\pi\approx3{,}14\): \(3{,}1<\pi\).
• Основание \(0{,}6<1\), функция убывает → знак меняется.
• Вывод: \(\log_{0{,}6}3{,}1>\log_{0{,}6}\pi\).

6) \(\left(\frac{1}{10}\right)^{4}\) и \(10^{-3}\)

• Сначала приводим к одному основанию: \(\left(\frac{1}{10}\right)^{4}=\left(10^{-1}\right)^{4}=10^{-4}\).
• Функция \(y=10^{x}\), аргументы \(x_{1}=-4\) и \(x_{2}=-3\): \(-4<-3\).
• Основание \(10>1\), функция возрастает → знак не меняется.
• Вывод: \(10^{-4}<10^{-3}\), то есть \(\left(\frac{1}{10}\right)^{4}<10^{-3}\).

Проверка (числами или логикой)

Ловушки, на которых теряют балл: в 1-м и 6-м столбцах правая часть сначала не выглядит как \(f(x)\) — её надо привести к тому же виду (\(1=\log_{0{,}6}0{,}6\), \(\frac{1}{10}=10^{-1}\)); в 4-м столбце сравнивают отрицательные показатели, и «больше» здесь то, что ближе к нулю.