КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1. Вариант 1. 1. При каких значениях переменной алгебраическая дробь (x+3)/(x(x-3)) не имеет смысла?
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Вариант 1
При каких значениях переменной алгебраическая дробь \(\frac{x+3}{x(x-3)}\) не имеет смысла?
Найдите значение выражения \(\frac{5-3x}{25-x^2}+\frac{2x}{25-x^2}\) при \(x=-1{,}5\).
Выполните действия: а) \(\frac{2x+1}{12x^2y}+\frac{2-3y}{18xy^2}\); б) \(\frac{a+4}{a}-\frac{a+6}{a+2}\); в) \(\frac{a+1}{2a(a-1)}-\frac{a-1}{2a(a+1)}\); г) \(\frac{x+2}{2x-4}-\frac{3x-2}{x^2-2x}\).
Прогулочный теплоход по течению реки проплывает 12 км за такое же время, что и 10 км против течения. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость теплохода 22 км/ч.
Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения \(\frac{10}{25-b^4}+\frac{1}{5+b^2}-\frac{1}{5-b^2}\) положительно.
Кратко:
- \(x=0\) или \(x=3\);
- \(\frac{2}{7}\);
- а) \(\frac{4x+3y}{36x^2y^2}\); б) \(\frac{8}{a(a+2)}\); в) \(\frac{2}{a^2-1}\); г) \(\frac{x-2}{2x}\);
- \(2\) км/ч;
- выражение равно \(\frac{2}{b^2+5}\), поэтому положительно.
1. Когда дробь не имеет смысла
Дробь не имеет смысла, если знаменатель равен нулю:
\[ x(x-3)=0. \]
Отсюда:
\[ x=0 \quad \text{или} \quad x=3. \]
Ответ: \(x=0;\ 3\).
2. Значение выражения при \(x=-1{,}5\)
Сначала упростим:
\[ \frac{5-3x}{25-x^2}+\frac{2x}{25-x^2} = \frac{5-3x+2x}{25-x^2} = \frac{5-x}{25-x^2}. \]
Так как \(25-x^2=(5-x)(5+x)\), то
\[ \frac{5-x}{(5-x)(5+x)}=\frac{1}{5+x}. \]
Подставляем \(x=-1{,}5\):
\[ \frac{1}{5-1{,}5}=\frac{1}{3{,}5}=\frac{2}{7}. \]
Ответ: \(\frac{2}{7}\).
3. Выполните действия
а)
\[ \frac{2x+1}{12x^2y}+\frac{2-3y}{18xy^2}. \]
Общий знаменатель: \(36x^2y^2\).
\[ \frac{(2x+1)\cdot 3y+(2-3y)\cdot 2x}{36x^2y^2} = \frac{6xy+3y+4x-6xy}{36x^2y^2} = \frac{4x+3y}{36x^2y^2}. \]
Ответ: \(\frac{4x+3y}{36x^2y^2}\).
б)
\[ \frac{a+4}{a}-\frac{a+6}{a+2}. \]
Общий знаменатель: \(a(a+2)\).
\[ \frac{(a+4)(a+2)-a(a+6)}{a(a+2)} = \frac{a^2+6a+8-a^2-6a}{a(a+2)} = \frac{8}{a(a+2)}. \]
Ответ: \(\frac{8}{a(a+2)}\).
в)
\[ \frac{a+1}{2a(a-1)}-\frac{a-1}{2a(a+1)}. \]
Общий знаменатель: \(2a(a-1)(a+1)\).
\[ \frac{(a+1)^2-(a-1)^2}{2a(a-1)(a+1)}. \]
Числитель:
\[ (a+1)^2-(a-1)^2=4a. \]
Тогда:
\[ \frac{4a}{2a(a-1)(a+1)} = \frac{2}{(a-1)(a+1)} = \frac{2}{a^2-1}. \]
Ответ: \(\frac{2}{a^2-1}\).
г)
\[ \frac{x+2}{2x-4}-\frac{3x-2}{x^2-2x}. \]
Разложим знаменатели:
\[ 2x-4=2(x-2), \qquad x^2-2x=x(x-2). \]
Общий знаменатель: \(2x(x-2)\).
\[ \frac{x(x+2)-2(3x-2)}{2x(x-2)} = \frac{x^2+2x-6x+4}{2x(x-2)} = \frac{x^2-4x+4}{2x(x-2)}. \]
\[ x^2-4x+4=(x-2)^2. \]
Значит:
\[ \frac{(x-2)^2}{2x(x-2)} = \frac{x-2}{2x}. \]
Ответ: \(\frac{x-2}{2x}\).
4. Задача про теплоход
Пусть скорость течения реки равна \(v\) км/ч.
Тогда скорость по течению — \(22+v\), против течения — \(22-v\).
Время по течению:
\[ \frac{12}{22+v}. \]
Время против течения:
\[ \frac{10}{22-v}. \]
Они равны:
\[ \frac{12}{22+v}=\frac{10}{22-v}. \]
Решаем:
\[ 12(22-v)=10(22+v), \]
\[ 264-12v=220+10v, \]
\[ 44=22v, \]
\[ v=2. \]
Проверка: по течению \(24\) км/ч, время \(12:24=0{,}5\) ч; против течения \(20\) км/ч, время \(10:20=0{,}5\) ч.
Ответ: \(2\) км/ч.
5. Докажите, что выражение положительно
\[ \frac{10}{25-b^4}+\frac{1}{5+b^2}-\frac{1}{5-b^2}. \]
Так как
\[ 25-b^4=(5-b^2)(5+b^2), \]
приведём к общему знаменателю:
\[ \frac{10+(5-b^2)-(5+b^2)}{(5-b^2)(5+b^2)}. \]
Упрощаем числитель:
\[ 10+5-b^2-5-b^2=10-2b^2=2(5-b^2). \]
Получаем:
\[ \frac{2(5-b^2)}{(5-b^2)(5+b^2)} = \frac{2}{5+b^2}. \]
При всех допустимых значениях \(b\) знаменатель \(5+b^2>0\), значит:
\[ \frac{2}{5+b^2}>0. \]
Следовательно, исходное выражение положительно при всех допустимых значениях переменной.
\[ \boxed{\frac{2}{b^2+5}>0} \]
Главный принцип: при сложении и вычитании дробей сначала приводят их к общему знаменателю, затем раскладывают числитель и знаменатель на множители и сокращают — с учётом того, что знаменатель не должен равняться нулю.
