8 Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/2 t²+6t+19, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
8 Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t)=\frac{1}{2}t^2+6t+19\), где \(x\) — расстояние от точки отсчёта в метрах, \(t\) — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 14 м/с? 9 Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе показателей информативности \(In\), оперативности \(Op\), объективности \(Tr\) публикаций, а также качества \(Q\) сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от \(-2\) до 2. Составители рейтинга считают, что объективность ценится вдвое, а информативность публикаций — вчетверо дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид \[R=\frac{4In+Op+2Tr+Q}{A}.\] Найдите, каким должно быть число \(A\), чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг 8. 10 Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 154 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч. 11 На рисунке изображён график функции \(f(x)=ax^2+bx+2\). Найдите \(f(-3)\). [Рисунок: парабола, ветви направлены вниз; оси координат с единичным отрезком; на графике отмечены точки (1; 3) и (3; 1).] 12 Найдите наименьшее значение функции \(y=\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}-6x+70\) на отрезке [5; 581].
На фото пять заданий — № 8–12. Ниже решения всех.
| № | Ответ |
|---|---|
| 8 | 8 с |
| 9 | \(A=2\) |
| 10 | 14 км/ч |
| 11 | \(-9\) |
| 12 | \(-218\) |
№ 8
Скорость — производная координаты по времени: \[ v(t)=x'(t)=\left(\frac12t^2+6t+19\right)'=t+6. \] По условию \(v=14\): \[ t+6=14 \quad\Rightarrow\quad t=8. \] Ответ: 8 секунд.
№ 9
Все показатели максимальны, значит каждый равен 2: \[ 4In+Op+2Tr+Q=4\cdot2+2+2\cdot2+2=16. \] Нужно, чтобы рейтинг был равен 8: \[ \frac{16}{A}=8 \quad\Rightarrow\quad A=2. \] Ответ: 2.
№ 10
Пусть скорость из A в B равна \(v\) км/ч, тогда обратно — \(v+3\) км/ч.
Время туда: \(\frac{154}{v}\), обратно с учётом остановки:
\[
\frac{154}{v+3}+3.
\]
Времена равны:
\[
\frac{154}{v}=\frac{154}{v+3}+3.
\]
После преобразований:
\[
154=v(v+3),
\]
\[
v^2+3v-154=0.
\]
Корни: \(11\) и \(-14\), подходит \(v=11\).
Тогда скорость на обратном пути:
\[
11+3=14.
\]
Проверка: туда \(154:11=14\) ч; обратно \(154:14=11\) ч плюс 3 ч остановки — тоже 14 ч.
Ответ: 14 км/ч.
№ 11
По графику видны отмеченные точки \((1;3)\) и \((3;1)\), а свободный член уже дан: \(c=2\). Подставляем точки в \(f(x)=ax^2+bx+2\): \[ \begin{cases} a+b+2=3,\\ 9a+3b+2=1. \end{cases} \] Отсюда \(a=-\frac23\), \(b=\frac53\). Тогда \[ f(-3)=-\frac23\cdot9+\frac53\cdot(-3)+2=-6-5+2=-9. \] Ответ: \(-9\).
№ 12
\[ y=\frac13x^{3/2}-6x+70. \] Находим производную: \[ y'=\frac12\sqrt{x}-6. \] \[ \frac12\sqrt{x}-6=0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x}=12 \quad\Rightarrow\quad x=144. \] Точка \(144\) входит в отрезок \([5;581]\). Считаем значение: \[ y(144)=\frac13\cdot144^{3/2}-6\cdot144+70 =\frac13\cdot1728-864+70=-218. \] На концах: \(y(5)\approx43{,}7\), а при \(x=581\) значение ещё больше; после \(x=144\) функция возрастает. Значит, наименьшее значение достигается при \(x=144\).
Ответ: \(-218\).
