Вариант I 1. Лежит ли точка A (2; −1) на окружности, заданной уравнением (x − 2)^2 + (y − 3)^2 = 25?
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант I
- Лежит ли точка \(A (2; −1)\) на окружности, заданной уравнением \((x−2)^2+(y−3)^2=25\)?
- Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка \((4; 5)\), а радиус равен 3.
- Напишите уравнение прямой, проходящей через точку \(M (3; −2)\) и параллельной оси ординат.
- Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, если она проходит через точку \(C (−2; 3)\).
- Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки \(M (−2; −1)\) и \(N (3; 1)\).
- Найдите длину вектора \(\vec{a} (−12; 5)\).
- Найдите координаты середины отрезка \(PQ\), если \(P (5; −3); Q (3; −7)\).
- Найдите координаты вектора \(\overline{AB}\), если \(A (2; −5), B (−3; 4)\). Вариант II
- Лежит ли точка \(A (2; −1)\) на прямой, заданной уравнением \(2x−3y−7=0\)?
- Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка \((4; 5)\), а радиус равен 2.
- Напишите уравнение прямой, проходящей через точку \(N (−2; 3)\) и параллельной оси абсцисс.
- Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку \(D (3; −2)\).
- Напишите уравнение окружности с центром в точке \(P (−2; −1)\), если она проходит через точку \(Q (1; 3)\).
- Найдите расстояние между точками \(A (−1; 3)\) и \(B (2; −1)\).
- Найдите координаты вектора \(\vec{c}\), равного сумме векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(\vec{a} (−12; 5), \vec{b} (7; −3)\).
- Найдите координаты вектора \(\overline{CD}\), если \(C (−1; 6), D (3; −2)\).
На фото два варианта по 8 заданий. Ниже — ответы и короткие решения для обоих: так ты выберешь свой вариант.
Краткие ответы
Вариант I
- Нет
- \((x-4)^2+(y-5)^2=9\)
- \(x=3\)
- \(x^2+y^2=13\)
- \(2x-5y-1=0\), или \(y=\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}\)
- \(13\)
- \((4;-5)\)
- \((-5;9)\)
Вариант II
- Да
- \((x-4)^2+(y-5)^2=4\)
- \(y=3\)
- \(2x+3y=0\), или \(y=-\frac{2}{3}x\)
- \((x+2)^2+(y+1)^2=25\)
- \(5\)
- \((-5;2)\)
- \((4;-8)\)
Как решали
Вариант I
Подставляем \(A(2;-1)\) в уравнение окружности: \[ (2-2)^2+(-1-3)^2=0+16=16\ne25. \] Значит, точка не лежит на окружности.
Уравнение окружности с центром \((x_0;y_0)\) и радиусом \(R\): \[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2. \] Здесь центр \((4;5)\), \(R=3\), поэтому: \[ (x-4)^2+(y-5)^2=9. \]
Прямая параллельна оси ординат \(Oy\), значит, у всех её точек одинаковая абсцисса: \[ x=3. \]
Центр — начало координат, значит, уравнение имеет вид: \[ x^2+y^2=R^2. \] Находим \(R^2\) по точке \(C(-2;3)\): \[ R^2=(-2)^2+3^2=4+9=13. \] Ответ: \[ x^2+y^2=13. \]
Угловой коэффициент: \[ k=\frac{1-(-1)}{3-(-2)}=\frac{2}{5}. \] Уравнение: \[ y+1=\frac{2}{5}(x+2). \] После преобразования: \[ 2x-5y-1=0. \]
Длина вектора \(\vec a(-12;5)\): \[ |\vec a|=\sqrt{(-12)^2+5^2}=\sqrt{144+25}=13. \]
Середина отрезка: \[ \left(\frac{5+3}{2};\frac{-3-7}{2}\right)=(4;-5). \]
Координаты вектора \(AB\): \[ \vec{AB}=(-3-2;\ 4-(-5))=(-5;9). \]
Вариант II
Подставляем \(A(2;-1)\) в уравнение прямой: \[ 2\cdot2-3\cdot(-1)-7=4+3-7=0. \] Равенство верное, значит, точка лежит на прямой.
Центр \((4;5)\), радиус \(2\): \[ (x-4)^2+(y-5)^2=2^2, \] то есть \[ (x-4)^2+(y-5)^2=4. \]
Прямая параллельна оси абсцисс \(Ox\), значит, у всех её точек одинаковая ордината: \[ y=3. \]
Прямая проходит через начало координат, поэтому: \[ y=kx. \] Через точку \(D(3;-2)\): \[ -2=k\cdot3,\qquad k=-\frac{2}{3}. \] Значит: \[ y=-\frac{2}{3}x, \] или \[ 2x+3y=0. \]
Радиус — расстояние от центра \(P(-2;-1)\) до точки \(Q(1;3)\): \[ R^2=(1+2)^2+(3+1)^2=9+16=25. \] Уравнение: \[ (x+2)^2+(y+1)^2=25. \]
Расстояние между точками: \[ AB=\sqrt{(2+1)^2+(-1-3)^2} =\sqrt{9+16}=5. \]
Сложение векторов: \[ \vec c=\vec a+\vec b=(-12+7;\ 5-3)=(-5;2). \]
Вектор \(CD\): \[ \vec{CD}=(3-(-1);\ -2-6)=(4;-8). \]
Что важно запомнить
- Уравнение окружности: \[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2. \]
- Прямая параллельна оси \(Oy\): \(x=a\).
- Прямая параллельна оси \(Ox\): \(y=b\).
- Координаты вектора \(AB\): \[ \vec{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A). \]
- Середина отрезка: \[ \left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right). \]
Проверка: подстановка точек в найденные уравнения даёт верные равенства, например \(2x-5y-1=0\) для точек \(M\) и \(N\), а \(2x+3y=0\) — для точки \(D\).
