Вариант 1: 1. Две стороны треугольника равны соответственно 1 см и √18 см, а угол между ними составляет 135°. Найдите третью сторону треугольника.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 1

1. Две стороны треугольника равны соответственно 1 см и $\sqrt{18}$ см, а угол между ними составляет $135^\circ$. Найдите третью сторону треугольника.

2. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $AC = \sqrt{6}$ см. Найдите сторону $BC$.

3. Большая диагональ и большая сторона параллелограмма соответственно равны $\sqrt{19}$ см и $2\sqrt{3}$ см, а его острый угол составляет $30^\circ$. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

4. В равнобокой трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. $BC = 4$ см, $\angle BDC = 30^\circ$, $\angle BDA = 45^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг трапеции, и ее боковую сторону.

Answer

На листке «Вариант 1» на переднем плане четыре задачи. Решаю их по порядку.

Краткие ответы:

1. $5$ см.

2. $3$ см.

3. $1$ см.

4. Радиус $R=4$ см; боковая сторона $4\sqrt2$ см.

1. Третья сторона треугольника

По теореме косинусов:
$$
c^2=1^2+(\sqrt{18})^2-2\cdot1\cdot\sqrt{18}\cos135^\circ.
$$
Так как $\cos135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$:
$$
c^2=19+\sqrt{36}=25,
$$
значит,
$$
c=5\text{ см}.
$$

2. Сторона $BC$

По теореме синусов:
$$
\frac{BC}{\sin60^\circ}=\frac{AC}{\sin45^\circ}.
$$
Отсюда:
$$
BC=\sqrt6\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ}
=\sqrt6\cdot\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}
=3\text{ см}.
$$

3. Меньшая сторона параллелограмма

Пусть меньшая сторона равна $a$, большая $b=2\sqrt3$. Для большей диагонали:
$$
d^2=a^2+b^2+2ab\cos30^\circ.
$$
Подставляем:
$$
19=a^2+12+2\cdot a\cdot2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2},
$$
$$
19=a^2+12+6a,
$$
$$
a^2+6a-7=0.
$$
Корни: $a=1$ и $a=-7$. Длина положительна, поэтому
$$
a=1\text{ см}.
$$

4. Радиус окружности и боковая сторона трапеции

Так как $BC\parallel AD$, то
$$
\angle CBD=\angle BDA=45^\circ.
$$
В треугольнике $BCD$:
$$
\angle BDC=30^\circ,\qquad \angle CBD=45^\circ.
$$
По теореме синусов:
$$
\frac{CD}{\sin45^\circ}=\frac{BC}{\sin30^\circ}.
$$
Тогда боковая сторона:
$$
CD=4\cdot\frac{\sqrt2/2}{1/2}=4\sqrt2\text{ см}.
$$
Радиус окружности, описанной около треугольника $BCD$, а значит и около равнобокой трапеции:
$$
R=\frac{BC}{2\sin\angle BDC}
=\frac{4}{2\cdot\frac12}=4\text{ см}.
$$

Главная идея: если даны две стороны и угол между ними, применяем теорему косинусов; если сторона и два угла — теорему синусов.

Вариант 1: 1. Две стороны треугольника равны соответственно 1 см и √18 см, а угол между ними составляет 135°. Найдите третью сторону треугольника.

1. Третья сторона треугольника

2. Сторона \(BC\)

3. Меньшая сторона параллелограмма

4. Радиус окружности и боковая сторона трапеции