вычислите понятие корня н степени

Question

Расшифровка фото нейросетью:
33.6 a) $\sqrt[3]{0,125}$; б) $\sqrt[4]{0,0625}$; в) $\sqrt[4]{0,0081}$; г) $\sqrt[3]{0,027}$.
33.7 a) $\sqrt[4]{\frac{16}{625}}$; б) $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$; в) $\sqrt{\frac{100}{121}}$; г) $\sqrt[5]{\frac{1}{32}}$.
33.8 a) $\sqrt[7]{-128}$; б) $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$; в) $\sqrt[6]{-64}$; г) $\sqrt[5]{-\frac{1}{32}}$.
33.9 a) $\sqrt[5]{32}+\sqrt[3]{-8}$; б) $\sqrt[4]{625}-\sqrt[3]{-125}$; в) $3\sqrt[4]{16}-4\sqrt[3]{27}$; г) $12-6\sqrt[3]{0,125}$.

Answer

Коротко: вычислительные номера 33.6–33.9 дают такие ответы:

№ |
а) |
б) |
в) |
г) |

33.6 |
$0,5$ |
$0,5$ |
$0,3$ |
$0,3$ |

33.7 |
$0,4$ |
$1,5$ |
$\frac{10}{11}$ |
$0,5$ |

33.8 |
$-2$ |
$-0,5$ |
нет действительного корня |
$-0,5$ |

33.9 |
$0$ |
$10$ |
$-6$ |
$9$ |

В № 33.8(в) имеется в виду $\sqrt[6]{-64}$: корень чётной степени из отрицательного числа среди действительных чисел не существует.

Почему так

Главное определение:

$$
\sqrt[n]{a}=b \quad \text{означает, что} \quad b^n=a.
$$

При этом:

если $n$ чётное, то $a\ge0$, а корень берётся неотрицательным;

если $n$ нечётное, то под корнем может быть отрицательное число, и знак ответа совпадает со знаком подкоренного.

Например:

$$
\sqrt[3]{0,125}=0,5,\quad \text{потому что }0,5^3=0,125;
$$

$$
\sqrt[4]{\frac{16}{625}}=\frac{2}{5},\quad \text{потому что }\left(\frac25\right)^4=\frac{16}{625};
$$

$$
\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac32=1,5,\quad \text{потому что }\left(\frac32\right)^3=\frac{27}{8};
$$

$$
\sqrt[7]{-128}=-2,\quad \text{потому что }(-2)^7=-128.
$$

Для выражений из № 33.9 сначала вычисляем каждый корень отдельно:

$$
\sqrt[5]{32}=2,\qquad \sqrt[3]{-8}=-2,
$$

поэтому

$$
\sqrt[5]{32}+\sqrt[3]{-8}=2+(-2)=0.
$$

Во всех таких заданиях проверка одна: возведи полученный ответ в степень корня — должно получиться подкоренное число.

№	а)	б)	в)	г)
33.6	\(0,5\)	\(0,5\)	\(0,3\)	\(0,3\)
33.7	\(0,4\)	\(1,5\)	\(\frac{10}{11}\)	\(0,5\)
33.8	\(-2\)	\(-0,5\)	нет действительного корня	\(-0,5\)
33.9	\(0\)	\(10\)	\(-6\)	\(9\)