Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=3,\; x_{2}=2 \]

Ответ: \(x = 2\) или \(x = 3\).

Как решать: два способа

Способ 1. Через дискриминант (универсальный)

Для уравнения \(ax^{2}+bx+c=0\) сначала считаем дискриминант:

\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

\(D>0\), значит корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_{1}=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_{2}=\frac{5-1}{2}=2 \]

Способ 2. По теореме Виета (быстрее, когда \(a=1\))

Для приведённого уравнения \(x^{2}+px+q=0\):

\[ x_{1}+x_{2}=-p=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=q=6 \]

Ищем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.

Проверка

Подставим корни в исходное уравнение:

• \(x=2\): \(4-10+6=0\) ✔
• \(x=3\): \(9-15+6=0\) ✔

Ещё одна проверка — разложение на множители:

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \(x=2\) или \(x=3\). Всё сходится.

Принцип на будущее: если \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один корень \(x=-\frac{b}{2a}\), \(D<0\) — действительных корней нет. А по Виету удобно подбирать корни устно, когда старший коэффициент равен 1 и корни целые.