конспект закон Всемирного тяготения, алгоритм решения задач

Краткий ответ

Закон всемирного тяготения: два тела притягиваются с силами, прямо пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними:

\[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2} \]

где \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}\) — гравитационная постоянная, \(m_1,m_2\) — массы тел, \(r\) — расстояние между центрами тел (для материальных точек или однородных шаров).

Силы притяжения равны по модулю и направлены противоположно вдоль линии, соединяющей тела.

Что важно для конспекта

1. Когда применим закон: для материальных точек; для однородных шаров — расстояние между центрами; для тел у поверхности Земли и на высоте \(h\) — расстояние \(R+h\) от центра Земли.
2. Сила тяжести — частный случай тяготения: \[ F_{\text{тяж}}=mg=G\frac{mM}{R^2} \]
3. Ускорение свободного падения на высоте \(h\): \[ g=\frac{GM}{(R+h)^2} \] У поверхности Земли \(g_0\approx 9{,}8\ \text{м/с}^2\).
4. Первая космическая скорость (если проходили): \[ v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}\approx 7{,}9\ \text{км/с} \]

Алгоритм решения задач

1. Записать «Дано» и перевести все величины в СИ: массы — в кг, расстояния — в м.
2. Сделать рисунок: изобразить тела точками или шарами, показать силы притяжения и расстояние \(r\).
3. Найти \(r\): расстояние берётся между центрами. Если тело на высоте \(h\) над Землёй, то \(r=R+h\), а не просто \(h\).
4. Записать формулу \(F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\) и подставить значения.
5. Если тело движется (например, спутник), применить второй закон Ньютона: сила тяготения может играть роль центростремительной силы.
6. Проверить результат: размерность, порядок числа и здравый смысл.

Пример с проверкой

Два тела массами \(m_1=2\ \text{кг}\) и \(m_2=5\ \text{кг}\) находятся на расстоянии \(r=10\ \text{см}=0{,}1\ \text{м}\).

\[ F=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{2\cdot5}{(0{,}1)^2} =6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{10}{0{,}01} =6{,}67\cdot10^{-8}\ \text{Н} \]

Проверка размерности: \[ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}\cdot\frac{\text{кг}\cdot\text{кг}}{\text{м}^2}=\text{Н} \] Всё сходится. Сила очень мала — поэтому притяжение обычных предметов мы не замечаем.

Типичная ошибка: при увеличении расстояния в 3 раза сила уменьшается не в 3, а в \(3^2=9\) раз — зависимость обратная квадратичная.