Сол жақ. 1) Функциялардың қиылысу нүктелерін тап. y = 1/2 x² мұнда y = 12 - x

Қысқаша жауап (сол жақ баған)

№	Жауап
1	\((-6;\,18)\) және \((4;\,8)\)
2	график \(Ox\) осіне \((2;\,0)\) нүктесінде жанасады (тапсырма сөзі анық емес — төменде қара)
3	төбелері: \((0;0)\), \((-2;0)\), \((0;-1)\)
4	\(\dfrac{x-3}{x+8}\), мұнда \(x\neq 8,\ x\neq -8\)
5	\(x\in(-\infty;\,+\infty)\) — кез келген нақты сан

---

1) Қиылысу нүктелері

Қиылысу нүктесі екі теңдеуді де қанағаттандырады, сондықтан оң жақтарын теңестіреміз:

\[ \frac{1}{2}x^2=12-x \]

\[ \frac{1}{2}x^2+x-12=0 \quad \Big|\cdot 2 \]

\[ x^2+2x-24=0 \]

\[ D=4+96=100,\qquad x_{1,2}=\frac{-2\pm 10}{2} \]

\(x_1=-6,\quad x_2=4\).

Енді түзуден \(y\)-ті табамыз: \(y=12-x\).

\[ y_1=12-(-6)=18,\qquad y_2=12-4=8 \]

Жауабы: \((-6;\,18)\) және \((4;\,8)\).

Тексеру: \(\frac{1}{2}(-6)^2=18\) ✓, \(\frac{1}{2}\cdot 4^2=8\) ✓.

2) \(y=x^2-4x+4\)

\[ y=x^2-4x+4=(x-2)^2 \]

Толық квадрат болғандықтан, төбесі \((2;\,0)\) нүктесінде жатыр, яғни график \(Ox\) осіне \((2;\,0)\) нүктесінде жанасады.

Бірақ тапсырманың сөзі («Функцияның графигі түзуге …») толық оқылмайды, сондықтан нақты нені сұрап тұрғанын растай алмаймын. Осы тармақты жақынырақ түсіріп жіберсең, оны да толық шығарып беремін.

3) Графиктерді салу

Негізгі ереже: \(y=a(x-m)^2+n\) — \(a\) тармақтардың «енін», \(m\) — көлденең жылжу, \(n\) — тік жылжуды береді.

• \(y=3x^2\) — төбесі \((0;0)\). Мәндері: \(x=0 \to 0;\ x=\pm1 \to 3;\ x=\pm2 \to 12\).
• \(y=3(x+2)^2\) — солға 2 бірлік жылжыған: төбесі \((-2;\,0)\). Мәндері: \(x=-2 \to 0;\ x=-1,\,-3 \to 3\).
• \(y=3x^2-1\) — төмен 1 бірлік: төбесі \((0;\,-1)\). Мәндері: \(x=0 \to -1;\ x=\pm1 \to 2\).

Үшеуі бірдей пішінді, тек орны әр түрлі — суретте бір координата жазықтығына салып, ығысуды көрсету керек.

4) Бөлшекті қысқарту

\[ \frac{x^2-11x+24}{x^2-64} \]

Алымы: Виет бойынша \(3+8=11,\ 3\cdot 8=24\), сондықтан

\[ x^2-11x+24=(x-3)(x-8) \]

Бөлімі — квадраттар айырмасы:

\[ x^2-64=(x-8)(x+8) \]

\[ \frac{(x-3)(x-8)}{(x-8)(x+8)}=\frac{x-3}{x+8} \]

Жауабы: \(\dfrac{x-3}{x+8}\), мұнда \(x\neq 8\) және \(x\neq -8\) (бөлім нөлге тең болмауы керек).

5) Барабарсыздық

\[ 2x^2-4x+6\ge 0 \]

Толық квадрат бөліп шығарамыз:

\[ 2x^2-4x+6=2\left(x^2-2x+3\right)=2\left((x-1)^2+2\right)=2(x-1)^2+4 \]

\((x-1)^2\ge 0\) болғандықтан, өрнек әрқашан кемінде 4-ке тең, яғни оң:

\[ 2(x-1)^2+4\ge 4>0 \]

Сондықтан барабарсыздық кез келген \(x\) үшін орындалады.

Дискриминантпен тексеру: \(D=16-48=-32<0\), \(a=2>0\) — парабола \(Ox\) осінен жоғары, ешқашан қимайды.

Жауабы: \(x\in(-\infty;\,+\infty)\).