делай

Кратко

1. \((\sin^{2}\alpha + \tg^{2}\alpha\,\sin^{2}\alpha)\cdot\ctg\alpha = \tg\alpha\)
2. \(2\sin\!\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right) = \sqrt{3}\ \Rightarrow\ x = \frac{2\pi k}{3}\) или \(x = -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3},\ k \in \mathbb{Z}\)

№1. «Жөнөкөйлөштүрүү» — упростить

\[ (\sin^{2}\alpha + \tg^{2}\alpha\,\sin^{2}\alpha)\,\ctg\alpha \]

Шаг 1. Выносим общий множитель \(\sin^{2}\alpha\):

\[ \sin^{2}\alpha\,(1 + \tg^{2}\alpha)\cdot\ctg\alpha \]

Шаг 2. Основное тригонометрическое тождество \(1 + \tg^{2}\alpha = \frac{1}{\cos^{2}\alpha}\):

\[ \sin^{2}\alpha\cdot\frac{1}{\cos^{2}\alpha} = \frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha} = \tg^{2}\alpha \]

Шаг 3. Умножаем на \(\ctg\alpha\) и пользуемся тем, что \(\tg\alpha\cdot\ctg\alpha = 1\):

\[ \tg^{2}\alpha\cdot\ctg\alpha = \tg\alpha\,(\tg\alpha\,\ctg\alpha) = \tg\alpha \]

Ответ: \(\tg\alpha\).

Проверка при \(\alpha = 45^\circ\): \(\sin^{2}\alpha = \frac{1}{2}\), \(\tg^{2}\alpha = 1\), скобка даёт \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\); \(\ctg 45^\circ = 1\), значит выражение равно \(1\), а \(\tg 45^\circ = 1\). Совпало.

№2. «Тендемени чыгаргыла» — решить уравнение

\[ 2\sin\!\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right) = \sqrt{3} \]

Шаг 1. Делим на 2:

\[ \sin\!\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Шаг 2. Общий вид решения \(\sin t = a\): \(t = (-1)^{n}\arcsin a + \pi n\). Здесь \(\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}\):

\[ \frac{\pi}{3} - 3x = (-1)^{n}\frac{\pi}{3} + \pi n \]

Шаг 3. Выражаем \(x\):

\[ -3x = (-1)^{n}\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + \pi n \]

\[ x = \frac{\pi}{9} - \frac{(-1)^{n}\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} \]

Так как \(n\) пробегает все целые числа, знак при \(\frac{\pi n}{3}\) можно взять любым:

\[ x = \frac{\pi}{9}\left(1 - (-1)^{n}\right) + \frac{\pi n}{3},\quad n \in \mathbb{Z} \]

Шаг 4. Разбиваем на две серии (чётное и нечётное \(n\)):

\[ x = \frac{2\pi k}{3}\quad \text{или}\quad x = -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3},\quad k \in \mathbb{Z} \]

Проверка: при \(x = \frac{2\pi}{3}\) аргумент равен \(\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}\), а \(\sin\!\left(-\frac{5\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). При \(x = -\frac{\pi}{9}\) аргумент \(\frac{2\pi}{3}\), и \(\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Обе серии подходят.

Как действовать в похожих заданиях

• Если в выражении рядом стоят \(\sin^{2}\) и \(\tg^{2}\), почти всегда помогает связка \(1 + \tg^{2}\alpha = \frac{1}{\cos^{2}\alpha}\) и пара \(\tg\alpha\cdot\ctg\alpha = 1\).
• В уравнении вида \(\sin(\varphi(x)) = a\) сначала «снимаем» синус по общей формуле с \((-1)^{n}\), потом аккуратно делим на коэффициент при \(x\); знак \(n\) в конце можно менять свободно.