ответы

Кратко

1. Область определения функции \(y=\dfrac{x-7}{\sqrt{6-3x}}\): \[6-3x>0 \;\Rightarrow\; x<2,\qquad D(y)=(-\infty;\,2).\]
2. Разложение трёхчлена: \[x^2-2x-24=(x+4)(x-6),\qquad x_1=-4,\; x_2=6.\]

Как это получается

1) Корень в знаменателе

Два правила работают одновременно: – под корнем чётной степени выражение должно быть неотрицательным; – на ноль делить нельзя, поэтому знаменатель не равен нулю.

Вместе это даёт строгое неравенство: \[6-3x>0\] \[-3x>-6\] Делим на \(-3\) — знак неравенства переворачивается: \[x<2\]

Числитель \(x-7\) область определения не ограничивает: он определен при любом \(x\) (и даже может быть равен нулю — это разрешено), так что ответ от него не зависит.

Проверка: \(x=0\): \(6-0=6>0\) — годится; \(x=2\): \(6-6=0\) — деление на ноль, не годится; \(x=3\): \(6-9=-3<0\) — корня нет, не годится. Всё сходится.

Небольшое замечание к твоей записи: условие \(6-3x\neq 0\) само по себе слабое — оно пропускает, например, \(x=3\), где под корнем отрицательное число. Нужно именно \(6-3x>0\).

2) Квадратный трёхчлен

Дискриминант: \[D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-24)=4+96=100,\qquad \sqrt{D}=10\] \[x_{1,2}=\frac{2\pm 10}{2}:\quad x_1=\frac{2-10}{2}=-4,\quad x_2=\frac{2+10}{2}=6\]

Дальше формула \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\): \[x^2-2x-24=\bigl(x-(-4)\bigr)(x-6)=(x+4)(x-6)\]

Проверка раскрытием скобок: \[(x+4)(x-6)=x^2-6x+4x-24=x^2-2x-24\] Совпало — значит, корни и разложение верные.

Быстрый способ без дискриминанта — теорема Виета: \(x_1+x_2=2\), \(x_1\cdot x_2=-24\). Подбор даёт \(-4\) и \(6\).