делай

Решаю оба задания I варианта.

Краткий ответ

1. \[ (\sin^2\alpha+\mathrm{tg}^2\alpha\sin^2\alpha)\mathrm{ctg}\alpha=\mathrm{tg}\alpha \] при \(\sin\alpha\ne0\), \(\cos\alpha\ne0\).

2. \[ x=\frac{2\pi k}{3}\quad(k\in\mathbb Z), \qquad x=-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}\quad(n\in\mathbb Z). \]

Как решать

1. Выносим общий множитель \(\sin^2\alpha\): \[ \sin^2\alpha(1+\mathrm{tg}^2\alpha)\mathrm{ctg}\alpha. \] Используем \(1+\mathrm{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\) и \(\mathrm{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\): \[ \sin^2\alpha\cdot\frac{1}{\cos^2\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\mathrm{tg}\alpha. \]

2. Делим на 2: \[ \sin\left(\frac{\pi}{3}-3x\right)=\frac{\sqrt3}{2}. \] Синус равен \(\frac{\sqrt3}{2}\) при углах \[ \frac{\pi}{3}+2\pi k \quad\text{или}\quad \frac{2\pi}{3}+2\pi k. \] Поэтому: \[ \frac{\pi}{3}-3x=\frac{\pi}{3}+2\pi k \Rightarrow x=\frac{2\pi k}{3}, \] и \[ \frac{\pi}{3}-3x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{9}-\frac{2\pi n}{3}. \] Так как \(n\) — любое целое, вторую серию можно записать как \[ x=-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}. \]

Проверка

• При \(\alpha=\frac{\pi}{4}\) исходное выражение равно \(1\), и \(\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}=1\).
• При \(x=0\): \(2\sin\frac{\pi}{3}=\sqrt3\).
• При \(x=-\frac{\pi}{9}\): \(2\sin\frac{2\pi}{3}=\sqrt3\).