1. Разложить x⁴ - x³ - x + 1

Краткий ответ: \[x^4 - x^3 - x + 1 = (x-1)^2\left(x^2+x+1\right)\]

Как к этому прийти (способ группировки)

1. Разбиваем слагаемые на пары. Важно заметить, что \(-x+1 = -(x-1)\): \[x^4 - x^3 - x + 1 = (x^4 - x^3) - (x - 1) = x^3(x-1) - (x-1).\]

2. Теперь появился общий множитель \((x-1)\), выносим его: \[= (x-1)\left(x^3 - 1\right).\]

3. К скобке \(x^3-1\) применяем формулу разности кубов \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\): \[x^3 - 1 = (x-1)\left(x^2+x+1\right).\]

4. Получаем: \[(x-1)(x-1)\left(x^2+x+1\right) = (x-1)^2\left(x^2+x+1\right).\]

Проверка раскрытием скобок: \[(x^2-2x+1)(x^2+x+1)=x^4+x^3+x^2-2x^3-2x^2-2x+x^2+x+1=x^4-x^3-x+1.\] Сошлось, значит, разложение верное. Множитель \(x^2+x+1\) дальше на действительные множители не раскладывается: его дискриминант \(1-4=-3<0\).

Принцип на будущее. Если сумма коэффициентов многочлена равна нулю (\(1-1-1+1=0\)), то \(x=1\) — его корень, и в разложении обязательно будет скобка \((x-1)\). Дальше либо группируем, либо делим многочлен на \(x-1\) (уголком или по схеме Горнера) и раскладываем оставшуюся часть.