Номер 240

Question

Номер 240

Расшифровка фото нейросетью:
Упражнения
Решить систему уравнений (240—243).
240
1)
$$\begin{cases}2x-y=1,\5^{x+y}=25;\end{cases}$$
2)
$$\begin{cases}x-y=2,\3^{x^2+y}=\frac{1}{9};\end{cases}$$
3)
$$\begin{cases}x+y=1,\2^{x-y}=8;\end{cases}$$
4)
$$\begin{cases}x+2y=3,\3^{x-y}=81.\end{cases}$$;

Answer

Краткий ответ:

1. $(1;1)$; 2) $(0;-2)$, $(-1;-3)$; 3) $(2;-1)$; 4) $\left(\frac{11}{3};-\frac13\right)$.

Главный принцип. Если $a>0$, $a\ne1$, то
$$
a^u=a^v \quad\Longleftrightarrow\quad u=v.
$$
Поэтому степени с одинаковым основанием можно «убрать», приравняв показатели.

1)

$$
\begin{cases}
2x-y=1,\
5^{x+y}=25.
\end{cases}
$$
Так как $25=5^2$, получаем $x+y=2$. Решаем линейную систему:
$$
\begin{cases}
2x-y=1,\
x+y=2.
\end{cases}
$$
Из второго $y=2-x$, тогда $2x-(2-x)=1$, откуда $3x=3$, $x=1$. Значит, $y=1$.

Ответ: $(1;1)$.

2)

$$
\begin{cases}
x-y=2,\
3^{x^2+y}=\frac19.
\end{cases}
$$
Так как $\frac19=3^{-2}$, имеем:
$$
x^2+y=-2.
$$
Из первого уравнения $y=x-2$. Подставляем:
$$
x^2+x-2=-2,
$$
$$
x^2+x=0,
$$
$$
x(x+1)=0.
$$
Отсюда $x=0$ или $x=-1$. Тогда $y=-2$ или $y=-3$.

Ответ: $(0;-2)$, $(-1;-3)$.

3)

$$
\begin{cases}
x+y=1,\
2^{x-y}=8.
\end{cases}
$$
Поскольку $8=2^3$, получаем $x-y=3$. Складываем уравнения:
$$
(x+y)+(x-y)=1+3,
$$
$$
2x=4,\quad x=2.
$$
Тогда $2+y=1$, значит, $y=-1$.

Ответ: $(2;-1)$.

4)

$$
\begin{cases}
x+2y=3,\
3^{x-y}=81.
\end{cases}
$$
Так как $81=3^4$, имеем $x-y=4$. Выразим $x=y+4$ и подставим:
$$
y+4+2y=3,
$$
$$
3y=-1,
$$
$$
y=-\frac13.
$$
Тогда
$$
x=-\frac13+4=\frac{11}{3}.
$$

Ответ: $\left(\frac{11}{3};-\frac13\right)$.

Проверка подстановкой подтверждает все найденные пары.