3. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований 3 и 5 см. Найдите полную поверхность пирамиды.

Условия задачи я не вижу — изображение до меня не дошло, поэтому и чертёж пока строить не по чему.

Пришли, пожалуйста, фото ещё раз или напиши условие текстом (для геометрии достаточно: что дано, что найти, все числа и названия точек). Как только увижу условие — решу задачу и нарисую чертёж с обозначениями.

Вижу все 8 примеров (в файле нумерация 1–4 повторяется дважды). Иду по порядку: к каждому — что построить на чертеже, затем решение.

---

1. Правильная четырёхугольная пирамида: \(h=7\) см, \(a=8\) см

Чертёж. Квадрат \(ABCD\), \(O\) — пересечение диагоналей, вершина \(S\) над \(O\), \(SO\perp(ABC)\). \(M\) — середина \(AB\); проводим \(SM\) (апофема) и \(OM\). Отмечаем \(\angle SOM=90^\circ\), \(\angle SOB=90^\circ\).

Решение. \(OM=\frac{a}{2}=4\) — расстояние от центра до стороны. \[ SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65} \] \[ OB=\frac{a\sqrt2}{2}=4\sqrt2,\qquad SB=\sqrt{SO^2+OB^2}=\sqrt{49+32}=9 \]

Ответ: боковое ребро \(9\) см; апофема \(\sqrt{65}\approx 8{,}06\) см.

---

2. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона \(a\), двугранный угол при основании \(\alpha\)

Чертёж. То же, что в №1. Линейный угол двугранного угла — это \(\angle SMO=\alpha\) (между апофемой \(SM\) и её проекцией \(OM\) на основание).

Решение. В прямоугольном \(\triangle SOM\): \(OM=\frac{a}{2}\), \(\angle M=\alpha\), значит \[ SO=\frac{a}{2}\operatorname{tg}\alpha,\qquad SM=\frac{a}{2\cos\alpha} \] \[ S_{\text{полн}}=a^2+4\cdot\frac12 a\cdot SM=a^2+\frac{a^2}{\cos\alpha} \]

Ответ: \(\displaystyle S=a^2\left(1+\frac{1}{\cos\alpha}\right)\).

---

3. Усечённая правильная четырёхугольная пирамида: \(h=2\), основания \(3\) и \(5\)

Чертёж. Нижний квадрат \(ABCD\) со стороной 5, верхний \(A_1B_1C_1D_1\) со стороной 3, \(OO_1=2\). \(M\) — середина \(AB\), \(M_1\) — середина \(A_1B_1\); \(MM_1\) — апофема усечённой пирамиды.

Решение. Проекция \(MM_1\) на основание равна \(\frac{5-3}{2}=1\), поэтому \[ MM_1=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5 \] Боковая грань — трапеция: \(S_{\text{гр}}=\frac{3+5}{2}\cdot\sqrt5=4\sqrt5\), боковая поверхность \(=16\sqrt5\). \[ S_{\text{полн}}=3^2+5^2+16\sqrt5=34+16\sqrt5 \]

Ответ: \(34+16\sqrt5\approx 69{,}8\) см².

---

4. Правильная треугольная пирамида: \(S_{\text{бок}}=27\) см², \(P=18\) см

Чертёж. Равносторонний \(\triangle ABC\), центр \(O\), вершина \(S\), апофема \(SM\) (\(M\) — середина \(AB\)); \(\angle ASB\) — плоский угол при вершине.

Решение. \(a=\frac{18}{3}=6\) см. По формуле \(S_{\text{бок}}=\frac12 P m\): \[ 27=\frac12\cdot 18\cdot m \;\Rightarrow\; m=3\text{ см} \] Грань \(SAB\) — равнобедренный треугольник: основание 6, высота (апофема) 3. Для половины угла при вершине \(\gamma\): \[ \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}=\frac{a/2}{m}=\frac{3}{3}=1 \;\Rightarrow\; \frac{\gamma}{2}=45^\circ,\quad \gamma=90^\circ \]

Ответ: апофема \(3\) см; плоский угол при вершине \(90^\circ\).

---

5. Прямой параллелепипед: стороны основания 3 и 5, угол \(60^\circ\), большая диагональ 10

Чертёж. Параллелограмм \(ABCD\) со сторонами \(AB=3\), \(AD=5\), \(\angle A=60^\circ\); боковое ребро \(AA_1\perp\) основанию; большая диагональ \(AC_1\).

Решение. Диагонали основания: \[ BD^2=9+25-2\cdot3\cdot5\cos60^\circ=19 \] \[ AC^2=9+25+15=49\;\Rightarrow\; AC=7 \] Большая диагональ параллелепипеда опирается на большую диагональ основания: \[ AC_1^2=AC^2+h^2:\quad 100=49+h^2\;\Rightarrow\; h=\sqrt{51} \]

Ответ: боковое ребро \(\sqrt{51}\approx 7{,}14\) см.

---

6. Прямая треугольная призма: в основании прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6, \(S_{\text{бок}}=120\) см²

Чертёж. Прямоугольный \(\triangle ABC\) с \(\angle C=90^\circ\), \(AC=6\), \(BC=8\); боковое ребро \(AA_1\) перпендикулярно основанию.

Решение. Гипотенуза \(AB=\sqrt{36+64}=10\), периметр \(P=6+8+10=24\). Боковая поверхность \(S_{\text{бок}}=Ph\): \[ 24h=120 \;\Rightarrow\; h=5 \]

Ответ: боковое ребро \(5\) см.

---

7. Прямая призма, основание — ромб с острым углом \(30^\circ\); \(S_{\text{бок}}=96\) дм², \(S_{\text{полн}}=132\) дм²

Чертёж. Ромб \(ABCD\) с \(\angle A=30^\circ\), боковое ребро \(AA_1\) — высота призмы.

Решение. Площадь двух оснований: \[ 2S_{\text{осн}}=132-96=36\;\Rightarrow\;S_{\text{осн}}=18 \] \[ a^2\sin30^\circ=\frac{a^2}{2}=18\;\Rightarrow\;a=6,\quad P=24 \] \[ S_{\text{бок}}=Ph:\quad 96=24h\;\Rightarrow\;h=4 \]

Ответ: высота \(4\) дм.

---

8. Правильная треугольная призма: диагональ боковой грани наклонена к основанию под углом \(\alpha\), площадь грани \(Q\)

Чертёж. Равносторонний \(\triangle ABC\) — основание, боковое ребро \(AA_1\perp\) основанию; в грани \(ABB_1A_1\) проводим диагональ \(AB_1\). Её проекция на основание — ребро \(AB\), значит \(\angle B_1AB=\alpha\).

Решение. В прямоугольнике грани: \[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{H}{a},\qquad Q=aH=a^2\operatorname{tg}\alpha\;\Rightarrow\;a^2=Q\operatorname{ctg}\alpha \] Площадь двух оснований: \[ 2\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}Q\operatorname{ctg}\alpha \] \[ S_{\text{полн}}=3Q+\frac{\sqrt3}{2}Q\operatorname{ctg}\alpha \]

Ответ: \(\displaystyle S=Q\left(3+\frac{\sqrt3}{2}\operatorname{ctg}\alpha\right)\).

---

Кратко ответы

№	Ответ
1	\(9\) см; \(\sqrt{65}\) см
2	\(a^2\left(1+\frac{1}{\cos\alpha}\right)\)
3	\(34+16\sqrt5\) см²
4	\(3\) см; \(90^\circ\)
5	\(\sqrt{51}\) см
6	\(5\) см
7	\(4\) дм
8	\(Q\left(3+\frac{\sqrt3}{2}\operatorname{ctg}\alpha\right)\)

Если нужно, могу расписать любой номер подробнее или подсказать, как аккуратно выполнить именно построение (например, в №3 — как провести сечение, где видна апофема).

Только чертежи, без решений. Пунктиром — невидимые (скрытые) рёбра.

1–2. Правильная четырёхугольная пирамида \(SABCD\)

             S
            /|\
           / | \
          /  |  \
         D---O---C
         |\  |  /|
         | \ | / |
         |  \|/  |
         A---M---B

Отметить: \(O\) — центр основания (пересечение \(AC\) и \(BD\), пунктир), \(SO\) — высота (пунктир), \(M\) — середина \(AB\), \(SM\) — апофема.

Сечение (вынести рядом):

        S                S
        |\               |\
        | \              | \
        |  \             |  \
        O---M            O---M
      ∠SOM = 90° (№1)    ∠SMO = α (№2)

Для №1 дополнительно треугольник \(SOB\):

        S
        |\
        | \
        O--B

3. Усечённая пирамида

             D₁------C₁
            /|      /|
          A₁-+----B₁ |
           | |     | |
           | D-----|-C
           |/      |/
           A-------B

Отметить: \(M\) — середина \(AB\), \(M₁\) — середина \(A₁B₁\), \(MM₁\) — апофема (в передней грани); \(O\), \(O₁\) — центры оснований, \(OO₁\) — высота (пунктир по оси).

4. Правильная треугольная пирамида \(SABC\)

             S
            /|\
           / | \
          /  |  \
         A---M---B
          \     /
           \   /
            \ /
             C

Отметить: \(M\) — середина \(AB\), \(SM\) — апофема; \(\angle ASB\) — плоский угол при вершине.

5. Прямой параллелепипед \(ABCDA₁B₁C₁D₁\)

             D₁------C₁
            /|      /|
          A₁-+----B₁ |
           | |     | |
           | D-----|-C
           |/      |/
           A-------B

Отметить: \(\angle BAD = 60^\circ\) (или \(\angle DAB\)), \(AB = 3\), \(AD = 5\); диагональ основания \(AC\) (пунктир) и большая диагональ \(AC₁\) — от \(A\) к \(C₁\).

6. Прямая треугольная призма

        B₁--------C₁
        | \      /|
        |  \    / |
        |   \  /  |
        |    A₁   |
        |    |    |
        B----|----C
         \   |   /
          \  |  /
           \ | /
            A

Отметить: \(\angle C = 90^\circ\) в основании (угол при вершине \(C\) между \(CA\) и \(CB\)), \(AC = 6\), \(BC = 8\); боковое ребро \(AA₁\) (или \(BB₁\)) — высота призмы.

7. Прямая призма с ромбом в основании

             D₁------C₁
            /| \    /|
          A₁-+--\--B₁|
           | |   \ | |
           | D----\|-C
           |/      |/
           A-------B

Отметить: \(ABCD\) — ромб, \(\angle A = 30^\circ\); диагонали ромба \(AC\) и \(BD\) (пунктир), \(O\) — их пересечение; боковое ребро \(AA₁\) — высота призмы.

8. Правильная треугольная призма \(ABCA₁B₁C₁\) + грань с диагональю

        B₁--------C₁
        | \      /|
        |  \    / |
        |   \  /  |
        |    A₁   |
        |    |    |
        B----|----C
         \   |   /
          \  |  /
           \ | /
            A

Грань \(ABB₁A₁\) отдельно:

        A₁------------B₁
        |            /
        |          /
        |        /
        |      /
        |    /
        |  /
        A------------B

Отметить: \(AB₁\) — диагональ грани, \(\angle B₁AB = \alpha\); \(AB = a\), \(BB₁ = H\).

Скажи, если нужно к какому-то чертежу добавить сечение или вынести отдельный треугольник — дорисую.