144. a) sin(-x/3) = √2/2; б) tg (-4x) = 1/√3; в) cos(-2x) = -√3/2; г) ctg (-x/2) = 1.

На фото несколько заданий. Полностью видны №144–147; в №148 условие обрезано, поэтому решаю 144–147. Во всех ответах \(n\in\mathbb Z\).

Нужны базовые формулы: \[ \sin t=a\Rightarrow t=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\qquad \cos t=a\Rightarrow t=\pm\arccos a+2\pi n, \] \[ \mathrm{tg}\,t=a\Rightarrow t=\arctan a+\pi n,\qquad \mathrm{ctg}\,t=a\Rightarrow t=\mathrm{arcctg}\,a+\pi n. \] Также используем нечётность синуса, тангенса, котангенса и чётность косинуса.

144

a) \[ -\sin\frac{x}{3}=\frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x=3(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+3\pi n. \]

б) \[ -\mathrm{tg}\,4x=\frac1{\sqrt3} \Rightarrow 4x=-\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4}. \]

в) \[ \cos 2x=-\frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow 2x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n \Rightarrow x=\pm\frac{5\pi}{12}+\pi n. \]

г) \[ -\mathrm{ctg}\frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n. \]

145

a) \[ \cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}\pm\frac{\pi}{2}+4\pi n. \]

б) \[ 3x-\frac{\pi}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{12}+(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}. \]

в) \[ \mathrm{tg}\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3 \Rightarrow \frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+\pi n \Rightarrow x=3\pi n. \]

г) \[ \sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=-1 \Rightarrow \frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi n. \]

146

a) \[ \frac{\pi}{6}-2x=\pi+2\pi n \Rightarrow x=-\frac{5\pi}{12}+\pi n. \]

б) \[ \sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}\right)=\frac{\sqrt3}{2}. \] Отсюда две серии: \[ x=8\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{4\pi}{3}+8\pi n. \]

в) \[ \frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\pi+2\pi n. \]

г) \[ \frac{\pi}{4}-3x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n. \] Значит, \[ x=\frac{2\pi n}{3}\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}. \]

147

a) \[ \sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x=\sin 2x, \] поэтому \[ \sin 2x=\frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}. \]

б) \[ \sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4}=-\cos\frac{x}{2}=1. \] Значит, \[ \cos\frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi+2\pi n \Rightarrow x=2\pi+4\pi n. \]

в) \[ \frac12\sin 4x=-\frac14 \Rightarrow \sin 4x=-\frac12 \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4}. \]

г) \[ \sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt2}{2}, \] поэтому \[ x=\frac{3\pi}{5}+(-1)^n\frac{3\pi}{4}+3\pi n. \]

Проверка на примере 145a: при \(n=0\) и знаке «+» получаем \(x=\frac{5\pi}{6}\), тогда \[ 2\cos\left(\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{6}\right) =2\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt2. \] Верно.

Для №148 нужен полный кадр: видно только начало условия, а сам вопрос обрезан.