реши 2.6, 2.8 и 2.10
Сверь числа и знаки с фото.
2.6. Отрезок \(AK\) перпендикулярен плоскости прямоугольника \(ABCD\). Найдите \(KC\), если \(AK = 2\sqrt{14}\) м, \(AB = 5\) м, \(AD = 12\) м.
2.8. Прямая \(a\), проходящая через вершину \(A\) треугольника \(ABC\), перпендикулярна его сторонам \(AB\) и \(AC\). Выясните взаимное расположение \(a\) и \(BC\)?
2.10. Даны прямые \(a\), \(b\) и \(c\) такие, что \(a \perp b\) и \(c \perp b\). Можно ли утверждать, что \(a \parallel c\)? Почему? Не противоречит ли это следующему утверждению из планиметрии: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой»?
Кратко:
2.6 — \(KC=15\) м.
2.8 — \(a\perp BC\), прямые скрещивающиеся.
2.10 — нет, \(a\parallel c\) не обязательно; противоречия с планиметрией нет.
2.6.
В прямоугольнике \(ABCD\) диагональ
\[
AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13.
\]
Значит, \(AC=13\) м.
Так как \(AK\perp(ABCD)\), то \(AK\) перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в частности \(AK\perp AC\). Поэтому треугольник \(AKC\) прямоугольный:
\[
KC=\sqrt{AK^2+AC^2}
=\sqrt{(2\sqrt{14})^2+13^2}
=\sqrt{56+169}=15.
\]
Ответ: \(15\) м.
Проверка: \(15^2=225\), и \(56+169=225\).
Принцип: перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой в ней, поэтому расстояние до точки плоскости ищем по теореме Пифагора.
2.8.
\(AB\) и \(AC\) пересекаются в точке \(A\) и лежат в плоскости \(ABC\). По условию \(a\perp AB\) и \(a\perp AC\). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости:
\[
a\perp(ABC).
\]
Если прямая перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, значит \(a\perp BC\). Точка \(A\) не лежит на \(BC\), поэтому \(a\) и \(BC\) — скрещивающиеся прямые, угол между ними \(90^\circ\).
Ответ: \(a\perp BC\).
2.10.
Утверждать \(a\parallel c\) нельзя. Контрпример: пусть \(b\perp\alpha\), а \(a\) и \(c\) — две пересекающиеся прямые в плоскости \(\alpha\). Тогда \(a\perp b\) и \(c\perp b\), но \(a\) и \(c\) не параллельны.
Планиметрии это не противоречит: там утверждение «две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны» верно только для прямых, лежащих в одной плоскости. В пространстве \(a\), \(b\), \(c\) могут не быть компланарны. Если дополнительно \(a\), \(b\), \(c\) лежат в одной плоскости, то \(a\parallel c\).
Обсуждение
6 сообщенийНапиши дано
2.6
Дано:
\(ABCD\) — прямоугольник;
\(AB=5\) м, \(AD=12\) м;
\(AK\perp (ABCD)\), \(AK=2\sqrt{14}\) м.
Найти: \(KC\).
2.8
Дано:
Прямые \(AB\) и \(AC\) пересекаются в точке \(A\);
\(a\perp AB\), \(a\perp AC\).
Доказать: \(a\perp BC\).
Также можно записать: \(a\perp (ABC)\).
2.10
Дано:
\(a\perp b\), \(c\perp b\); прямые \(a,b,c\) рассматриваются в пространстве.
Выяснить: обязательно ли \(a\parallel c\)?
Ответ: нет, не обязательно.
Реши 2. 12 и 2.14
2.12
Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб.
Доказать: \(AB_1\perp CD_1\).
Доказательство:
Грань \(ABB_1A_1\) — квадрат. Отрезки \(AB_1\) и \(A_1B\) — его диагонали. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому \[ AB_1\perp A_1B. \]
В кубе \(A_1B\parallel CD_1\): четырёхугольник \(A_1BCD_1\) является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны и равны.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая ей перпендикулярна. Поэтому \[ AB_1\perp CD_1. \]
Вывод: \(AB_1\) и \(CD_1\) — скрещивающиеся прямые, угол между ними равен \(90^\circ\).
2.14
Дано:
\(a\perp\alpha\),
\(A=a\cap\alpha\),
прямая \(b\) проходит через точку \(A\),
\(b\perp a\).
Доказать: \(b\subset\alpha\).
Доказательство:
Рассмотрим плоскость \(\beta\), проходящую через пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\). Она существует, так как \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(A\).
Если \(\beta=\alpha\), то сразу \(b\subset\alpha\), и всё доказано.
Пусть \(\beta\ne\alpha\). Тогда плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по некоторой прямой \(m\), причём \(A\in m\).
Так как \(a\perp\alpha\), а \(m\subset\alpha\), то \[ a\perp m. \] Кроме того, по условию \[ a\perp b. \]
Значит, в плоскости \(\beta\) через точку \(A\) проходят две прямые \(b\) и \(m\), перпендикулярные прямой \(a\). Но в плоскости через данную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной. Следовательно, \[ b=m. \] А так как \(m\subset\alpha\), то \[ b\subset\alpha. \]
Что и требовалось доказать.
Сделай чертёж к номеру 2.10
Вот чертёж к номеру 2.10 — контрпример, где \(b\perp\alpha\), а прямые \(a\) и \(c\) лежат в плоскости \(\alpha\) и не параллельны:
b
│
│
a │ c
\ │ /
\ │ /
┌─────\─────O─────/─────┐
/ \ │ / \
/ \ │ / \
└───────────\──┴──/───────────┘ α
Пояснение:
- \(a\subset\alpha\), \(c\subset\alpha\), причём \(a\cap c=O\), значит \(a\nparallel c\).
- \(b\perp\alpha\), поэтому \(b\perp a\) и \(b\perp c\).
- Следовательно, из условий \(a\perp b\) и \(c\perp b\) не следует, что \(a\parallel c\).
