2.6. Отрезок AK перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD. Найдите KC, если AK = 2√14 м, AB = 5 м, AD = 12 м.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
2.6. Отрезок $AK$ перпендикулярен плоскости прямоугольника $ABCD$. Найдите $KC$, если $AK = 2\sqrt{14}$ м, $AB = 5$ м, $AD = 12$ м.
2.7. Известно, что $AB \perp \alpha$, $CD \perp \alpha$, $B \in \alpha$, $D \in \alpha$. Сколько плоскостей можно провести через данные четыре точки? Почему?
2.8. Прямая $a$, проходящая через вершину $A$ треугольника $ABC$, перпендикулярна его сторонам $AB$ и $AC$. Выясните взаимное расположение прямых $a$ и $BC$?
2.9. Сколько прямых, перпендикулярных данной прямой, можно провести через точку, лежащую на этой прямой? А через точку, не лежащую на данной прямой?
2.10. Даны прямые $a$, $b$ и $c$ такие, что $a \perp b$ и $c \perp b$. Можно ли утверждать, что $a \parallel c$? Почему? Не противоречит ли это следующему утверждению из планиметрии: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой»?
2.11. Могут ли прямые $b$ и $c$ быть перпендикулярными, если $a \perp b$ и $\angle(a, c) = 60^\circ$? Обоснуйте ответ.
2.12. Покажите, что в кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ $AB_{1} \perp CD_{1}$.

Answer

На фото несколько упражнений — 2.6–2.12, поэтому ниже разобрал все. Если нужен только один номер, можно сразу найти его по подзаголовку.

Кратко:

2.6 — $15$ м;

2.7 — одна плоскость;

2.8 — $a\perp BC$, прямые скрещивающиеся;

2.9 — бесконечно много в обоих случаях;

2.10 — нельзя утверждать, что $a\parallel c$;

2.11 — да, могут;

2.12 — $AB_1\perp CD_1$.

2.6

Диагональ прямоугольника:
$$
AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13\text{ м}.
$$

Так как $AK$ перпендикулярен плоскости прямоугольника, то $AK\perp AC$. Поэтому треугольник $AKC$ прямоугольный с прямым углом при $A$:
$$
KC=\sqrt{AK^2+AC^2}
=\sqrt{(2\sqrt{14})^2+13^2}
=\sqrt{56+169}
=\sqrt{225}=15\text{ м}.
$$

Ответ: $15$ м.

2.7

$AB$ и $CD$ обе перпендикулярны одной плоскости $\alpha$, значит, они параллельны. Две параллельные прямые определяют единственную плоскость. В ней лежат все четыре точки $A,B,C,D$, поэтому через них можно провести ровно одну плоскость.

Ответ: одна плоскость.

2.8

Прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $AC$ плоскости $ABC$. Значит,
$$
a\perp (ABC).
$$
Так как $BC$ лежит в этой плоскости, то $a\perp BC$. Но $a$ проходит через $A$, а $BC$ через $A$ не проходит, поэтому прямые $a$ и $BC$ не пересекаются.

Ответ: $a\perp BC$, прямые скрещивающиеся.

2.9

Через точку на данной прямой можно провести плоскость, перпендикулярную этой прямой. Все прямые этой плоскости, проходящие через выбранную точку, перпендикулярны исходной прямой — их бесконечно много.

Для точки вне прямой поступаем так же: через неё проводим плоскость, перпендикулярную данной прямой; любая прямая этой плоскости через эту точку перпендикулярна исходной.

Ответ: бесконечно много в обоих случаях.

2.10

Нельзя. Например, возьмём координатные оси:
$$
a=Oy,\qquad b=Ox,\qquad c=Oz.
$$
Тогда $a\perp b$ и $c\perp b$, но $a$ и $c$ перпендикулярны, а не параллельны.

Теорема планиметрии не противоречит этому: там все прямые должны лежать в одной плоскости, а в пространстве $a,b,c$ могут не быть компланарны.

Ответ: утверждать $a\parallel c$ нельзя.

2.11

Да, могут. Возьмём плоскость $\pi$, в ней проведём прямые $a$ и $c$ с углом $60^\circ$. Пусть прямая $b$ перпендикулярна плоскости $\pi$. Тогда $b$ перпендикулярна любой прямой в $\pi$, значит:
$$
b\perp a,\qquad b\perp c,
$$
при этом $\angle(a,c)=60^\circ$.

Ответ: да, такое возможно.

2.12

Введём координаты для единичного куба:
$$
A(0,0,0),\quad B(1,0,0),\quad C(1,1,0),\quad D(0,1,0),
$$
$$
B_1(1,0,1),\quad D_1(0,1,1).
$$

Тогда
$$
\overrightarrow{AB_1}=(1;0;1),\qquad
\overrightarrow{CD_1}=(-1;0;1).
$$
Найдём скалярное произведение:
$$
\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{CD_1}
=1\cdot(-1)+0\cdot0+1\cdot1=0.
$$
Если скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, угол между прямыми равен $90^\circ$. Следовательно,
$$
AB_1\perp CD_1.
$$