Решай

На фото задания 2 и 3. Если №3 относится к той же функции, что и №2, то ответ такой.

2) Производная функции
\[ y=x^4-3x^2+2 \] равна \[ y'=4x^3-6x=2x(2x^2-3). \]

3) Для этой же функции промежутки возрастания и убывания:

\[ y'=0 \quad\Rightarrow\quad 2x(2x^2-3)=0, \] откуда \[ x=0,\qquad x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}=\pm\frac{\sqrt6}{2}. \]

Определим знаки производной:

\[ \begin{array}{c|cccc} x & \left(-\infty;-\sqrt{\frac32}\right) & \left(-\sqrt{\frac32};0\right) & \left(0;\sqrt{\frac32}\right) & \left(\sqrt{\frac32};+\infty\right)\\ \hline y' & - & + & - & + \end{array} \]

Значит:

• функция возрастает на \[ \left(-\sqrt{\frac32};\,0\right) \quad\text{и}\quad \left(\sqrt{\frac32};\,+\infty\right); \]

• функция убывает на \[ \left(-\infty;-\sqrt{\frac32}\right) \quad\text{и}\quad \left(0;\sqrt{\frac32}\right). \]

Проверка: например, при \(x=1\): \[ y'=2\cdot1(2\cdot1^2-3)=2\cdot(-1)=-2<0, \] поэтому на интервале \((0;\sqrt{3/2})\) функция действительно убывает.

Если в №3 имелась в виду другая функция — пришлите её полностью, потому что на фото рядом с №3 формула не видна.

Это продолжение: в прошлом ответе я просил прислать полное условие №3 — вы его прислали. Уточняю: на фото №3 — не та функция, а отдельное неравенство.

№3.
\[ (x-2)(x+4)<0 \] Корни: \(x=2\) и \(x=-4\). Произведение отрицательно между корнями, поэтому
\[ x\in(-4;\,2). \]

№4.
\[ y=-(x+2)(x-3) \] Это квадратичная функция. Раскроем скобки: \[ y=-x^2+x+6. \] Нули: \(x=-2\) и \(x=3\). Вершина: \[ x_0=\frac{-2+3}{2}=0{,}5,\qquad y_0=6{,}25. \] Ветви параболы направлены вниз. Если нужно построить график, отметьте точки \((-2;0)\), \((3;0)\), \((0;6)\), \((0{,}5;6{,}25)\).

№5.
\[ x^2+2x+1=(x+1)^2. \] Это полный квадрат. Если требуется решить уравнение \(x^2+2x+1=0\), то \(x=-1\) — корень кратности 2.

На фото не видно самих формулировок заданий к №4 и №5. Напишите, что именно нужно сделать (построить график, найти промежутки, упростить и т. п.), и я доведу решение до конца.

Это продолжение №4 — нужно построить график. Картинку я не нарисую, но дам точную схему и таблицу, по которым график строится за пару минут.

Что за график

\[ y=-(x+2)(x-3)=-x^2+x+6 \]

Это парабола, ветви вниз.

• Нули: \(x=-2\) и \(x=3\) → точки \((-2;0)\) и \((3;0)\).
• Пересечение с осью \(Oy\): \(y(0)=6\) → точка \((0;6)\).
• Вершина: \[ x_0=\frac{-2+3}{2}=0{,}5,\qquad y_0=-(0{,}5+2)(0{,}5-3)=6{,}25 \] → точка \((0{,}5;\,6{,}25)\).
• Ось симметрии: \(x=0{,}5\) (поэтому точки \((0;6)\) и \((1;6)\) на одной высоте).

Таблица значений

Как строить

1. Возьмите масштаб: 1 клетка = 1 единица.
2. Проведите оси: \(x\) — примерно от \(-4\) до \(5\), \(y\) — от \(-7\) до \(7\).
3. Отметьте вершину \((0{,}5;\,6{,}25)\) и нули \((-2;0)\), \((3;0)\).
4. Нанесите точки из таблицы (они симметричны относительно \(x=0{,}5\)).
5. Соедините плавной линией — ветви уходят вниз в бесконечность.

Эскиз

 6,25 │                ★
    6 │              ●   ●
    5 │            ●       ●
    4 │          ●           ●
    3 │
    2 │        ●               ●
    1 │
    0 │──────●───────────────────●──→ x
   -1 │
   -2 │
   -3 │    ●                       ●
   -4 │
   -5 │
   -6 │  ●                           ●
        -3  -2  -1   0   1   2   3   4

Проверка

• Подставьте \(x=1\): \(y=-(3)(-2)=6\) — точка \((1;6)\) совпала с таблицей.
• Знак старшего коэффициента отрицательный → ветви вниз, значит \(y_{\max}=6{,}25\) в вершине, а наименьшего значения нет.

Если нужно ещё найти область значений или промежутки возрастания и убывания для этой параболы — скажите, добавлю.