массасы 1 тонна болгон авто ылдамдыгы 72 км ьолунгон саат болсо анын импулсу канчага барабар

Дененин импульсунун формуласы:

\[ \vec{p}=m\vec{v} \]

мында:

• \(m\) — масса (кг),
• \(\vec{v}\) — ылдамдык (м/с),
• \(\vec{p}\) — импульс (кг·м/с).

Бул маселе үчүн:

\[ m=1\ \text{т}=1000\ \text{кг} \]

\[ v=72\ \text{км/саат}=\frac{72}{3{,}6}=20\ \text{м/с} \]

Демек:

\[ p=1000\cdot 20=20\,000\ \text{кг}\cdot\text{м/с} \]

Жооп: \(p=2\cdot 10^4\ \text{кг}\cdot\text{м/с}\).

Кошумча: күч импульсунун формуласы \(\vec{F}\Delta t=\Delta\vec{p}\), бирок бул маселеде дененин импульсу \(\vec{p}=m\vec{v}\) колдонулат.

Сиздин дептердеги 2-тапшырма: «Бүткүл дүйнөлүк тартылуу күчүнүн формуласын жана \(G\) ны чыгарып бергиле». Төмөндө формула, анын түзүлүшү, \(G\) нын мааниси жана формуланын чыгарылышы бар.

1. Формула

\[ F=G\frac{m_1 m_2}{r^2} \]

• \(m_1,\ m_2\) — эки дененин массалары (кг),
• \(r\) — алардын борборлорунун ортосундагы аралык (м),
• \(F\) — тартылуу күчү (Н),
• \(G\) — гравитациялык туруктуулук.

Вектор түрүндө күч борборлорду бириктирген сызык боюнча багытталган жана ар дайым тартуучу:

\[ \vec{F}_{12}=-\,G\frac{m_1 m_2}{r^2}\,\hat{r} \]

2. Формуланын түзүлүшү (пропорционалдуулук)

\[ F \sim m_1 m_2,\qquad F \sim \frac{1}{r^2} \]

Башкача айтканда: күч массалардын көбөйтүндүсүнө түз пропорционал, аралыктын квадратына тескери пропорционал. Аралык 2 эсе чоңойсо, күч 4 эсе азаят.

3. \(G\) деген эмне

\[ G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2} \]

Физикалык мааниси: массасы 1 кг болгон эки дене бири-биринен 1 м аралыкта турганда, алардын ортосунда пайда болгон тартылуу күчүнүн чоңдугу. Анткени \(m_1=m_2=1\) кг, \(r=1\) м болсо, \(F=G\).

\(G\) — универсалдуу туруктуулук: ал бардык телолор үчүн бирдей. Биринчи жолу 1798-жылы Генри Кавендиш бурамалуу таразанын жардамы менен өлчөгөн.

4. Формуланын чыгарылышы

1. Планетаны Күндүн айланасында радиусу \(r\) болгон айлана боюнча кыймылдайт деп алабыз. Айлануу мезгили \(T\), ылдамдыгы: \[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

2. Борборго умтулуучу ылдамдануу \(a=\frac{v^2}{r}\), демек Күндүн тарабынан аракет эткен күч: \[ F=ma=\frac{m v^2}{r}=\frac{4\pi^2 m r}{T^2} \]

3. Кеплердин үчүнчү закону боюнча: \[ \frac{r^3}{T^2}=k=\text{const}\quad\Rightarrow\quad T^2=\frac{r^3}{k} \]

4. Муну күч формуласына коёбуз: \[ F=\frac{4\pi^2 m r}{r^3/k}=\frac{4\pi^2 k\,m}{r^2} \]

5. Ньютондун үчүнчү закону боюнча Күн да планетадан ошол эле күч менен тартылат. Демек күч Күндүн массасына \(M\) да пропорционал болушу керек, ошондуктан \(F\sim \frac{mM}{r^2}\). Пропорционалдуулук коэффициентин \(G\) деп белгилейбиз: \[ F=G\frac{mM}{r^2},\qquad G=4\pi^2 k \]

5. Текшерүү (Жердин тартылуусу)

Жердин бетине жакын дененин тартылуу күчү \(F=mg\), ал эми закон боюнча \(F=G\frac{mM_\oplus}{R_\oplus^2}\). Демек:

\[ g=\frac{GM_\oplus}{R_\oplus^2} =\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot10^{24}}{(6{,}37\cdot10^{6})^2}\approx 9{,}8\ \text{м/с}^2 \]

Бул белгилүү мааниге дал келет — демек, формула туура жана \(G\) нын мааниси чыныгы.

Кошумча: закон чекиттик массалар же шар сыяктуу сфералык симметриялуу телолор үчүн так аткарылат (анда \(r\) — борборлордун аралыгы).

3-тапшырмаңыз импульстун сакталуу закону боюнча — аны да чыгарып берейинби?

3-мисалдын шартын көрбөй жатам — сүрөтүңүздө же дептериңизде ал мага көрүнбөй калды. Шартын текст менен жазып же сүрөтүн жөнөтүп берсеңиз, толук чыгарып берейин.

Эгер импульстун сакталуу закону боюнча болсо, адатта мындай берилет: эки дененин массалары жана соккуга чейинки ылдамдыктары — ошолорду жазып коюңуз, же сүрөтүн жөнөтүңүз.

Импульстун сакталуу закону

Кыскача аныктамасы: Жабык (тышкы күчтөр аракет этпеген) системанын денелеринин импульстарынын вектордук суммасы ар кандай өз ара аракеттешүүдө өзгөрбөйт:

\[ \vec{p}_1+\vec{p}_2+\dots+\vec{p}_n=\text{const} \]

Эки дене үчүн:

\[ m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=m_1\vec{u}_1+m_2\vec{u}_2 \]

мында \(\vec{v}\) — аракеттешүүгө чейинки, \(\vec{u}\) — андан кийинки ылдамдыктар.

Качан аткарылат (шарттары)

1. Система жабык болушу керек — сырттан келген күчтөрдүн суммасы нөлгө барабар же аларды этибарга албай коюуга болот.
2. Тышкы күчтөр болсо да, алардын кайсы бир огуна проекциясы нөл болсо, ошол ок боюнча импульс сакталат: \[ p_{1x}+p_{2x}=p'_{1x}+p'_{2x} \]
3. Аракеттешүү убактысы кыска болгондо (сокку, жарылуу) сырткы күчтөрдүн импульсу кичине болуп, закон дээрлик так аткарылат.

Закондун чыгарылышы

1. Массалары \(m_1\), \(m_2\) болгон эки дене аракеттешет. Ньютондун үчүнчү закону боюнча: \[ \vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21} \]

2. Ньютондун экинчи закону импульс аркылуу: \(\vec{F}=\dfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}\). Демек: \[ \frac{\Delta\vec{p}_1}{\Delta t}=-\frac{\Delta\vec{p}_2}{\Delta t} \]

3. Убакытка көбөйтөбүз: \[ \Delta\vec{p}_1=-\Delta\vec{p}_2 \]

4. Демек \(\Delta\vec{p}_1+\Delta\vec{p}_2=0\), башкача айтканда: \[ \vec{p}_1+\vec{p}_2=\vec{p}'_1+\vec{p}'_2 \]

Ошентип, денелердин бири канча импульс жоготсо, экинчиси ошончо импульс алат — сумма өзгөрбөйт.

Мисал (абсолюттук серпилгичсиз сокку)

Массасы \(m_1=2\) кг болгон шар \(v_1=3\) м/с ылдамдык менен туруп турган \(m_2=1\) кг шарга урунуп, алар жабышып кетет. Жалпы ылдамдык:

\[ m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)u \]

\[ 2\cdot 3+1\cdot 0=(2+1)u \]

\[ 6=3u\quad\Rightarrow\quad u=2\ \text{м/с} \]

Текшерүү: соккуга чейинки импульс \(6\) кг·м/с, соккудан кийин \(3\cdot 2=6\) кг·м/с — сакталды. ✔

3-мисалдын сандарын жазсаңыз (массалар, ылдамдыктар, кандай сокку экени), ошого тактап чыгарып берейин.

Вагон мисалында импульстун сакталуу закону

Негизги идея: вагондор урунганда (автосцепка менен биригип же түртүп жибергенде) импульс жоголбойт — ал бир вагондон экинчисине бөлүштүрүлөт. Рельстин сүрүлүүсү сыяктуу тышкы күчтөр соккунун өтө кыска убактысында импульсту дээрлик өзгөртпөйт, ошондуктан системаны жабык деп эсептейбиз.

1-мисал: козголуучу вагон токтогонго урунат

Массалары \(m_1=m_2=30\) т. Биринчиси \(v_1=2\) м/с менен келет, экинчиси турат (\(v_2=0\)). Урунгандан кийин жабышып, бирге кетет.

\[ m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)u \]

\[ 30\cdot 2+30\cdot 0=(30+30)u \]

\[ 60=60u\quad\Rightarrow\quad u=1\ \text{м/с} \]

Түшүндүрмө: соккуга чейин импульс \(60\ \text{т}\cdot\text{м/с}\) болгон. Ал эки вагонго тең бөлүнөт — ар бирине \(30\ \text{т}\cdot\text{м/с}\), демек ылдамдык \(1\) м/с.

2-мисал: массалары да, ылдамдыктары да ар башка

\(m_1=20\) т, \(v_1=0{,}5\) м/с; алдыда бара жаткан \(m_2=30\) т, \(v_2=0{,}2\) м/с. Кууп жетип, жабышышат.

Соккуга чейин:

\[ p=20\cdot 0{,}5+30\cdot 0{,}2=10+6=16\ \text{т}\cdot\text{м/с} \]

Соккудан кийин жалпы масса \(50\) т:

\[ 16=50u\quad\Rightarrow\quad u=0{,}32\ \text{м/с} \]

3-мисал: вагон ажырайт (жарылуу)

\(40\) т вагон \(1\) м/с менен баратат, анан эки \(20\) т бөлүккө ажырайт. Биринчи бөлүк \(2\) м/с менен улантат. Экинчисинин ылдамдыгы:

\[ 40\cdot 1=20\cdot 2+20\cdot u_2 \]

\[ 40=40+20u_2\quad\Rightarrow\quad u_2=0 \]

Экинчи бөлүк токтоп калат — импульс толугу менен биринчи бөлүккө өттү.

Кадамдар (каалаган маселени ушундай чыгар)

1. Системаны белгиле: кайсы вагондор аракеттешет.
2. Окту танда (мисалы, кыймыл багыты боюнча).
3. Жаз: \(p_{\text{чейин}}=p_{\text{кийин}}\).
4. Проекцияла: багытка каршы кыймылдаган вагондун ылдамдыгы терс белги менен алынат.
5. Белгисизди чыгар.
6. Текшер: \(p_{\text{чейин}}\) жана \(p_{\text{кийин}}\) бирдей чыгышы керек.

Эскертүү: жооп \(\text{т}\cdot\text{м/с}\) менен чыгат. Эгер кг·м/с керек болсо, тоннаны \(1000\) кө көбөйтөсүз: \(16\ \text{т}\cdot\text{м/с}=16\,000\ \text{кг}\cdot\text{м/с}\).

Эгер 3-мисалдагы вагондоруңдун сандары башка болсо (массалары, ылдамдыктары, биригишеби же ажырайбы), ошолорду жазыңыз — тактап чыгарып берейин.

Сүрөттөн 4-мисалдын берилишин мындай окудум:

\[ P=10\ \text{кВт}=10\,000\ \text{Вт},\qquad t=1\ \text{мин}=60\ \text{с},\qquad A=? \]

Чыгаруу

Кубаттуулук менен жумуштун байланышы:

\[ P=\frac{A}{t}\quad\Rightarrow\quad A=P\cdot t \]

Маанилерди коёбуз:

\[ A=10\,000\ \text{Вт}\cdot 60\ \text{с}=600\,000\ \text{Дж} \]

\[ A=600\ \text{кДж}=0{,}6\ \text{МДж} \]

Жооп: \(A=600\ \text{кДж}\).

Текшерүү: \[ \frac{600\,000}{60}=10\,000\ \text{Вт}=10\ \text{кВт}\ \checkmark \]

Эгер маселеде лифттин канча бийиктикке көтөрүлгөнү да суралса, анда масса керек:

\[ A=mgh\quad\Rightarrow\quad h=\frac{A}{mg} \]

Сүрөттөн лифттин массасын так окуй албадым. Массасын жазып берсеңиз (мисалы, \(m=1\) т болсо, \(h=\frac{600\,000}{1000\cdot 9{,}8}\approx 61\) м), бийиктикти да эсептеп берейин.

Эгер 5-мисал да керек болсо, анын шартындагы сандарды (0,6 км/мин жана 0,02 ...) текст менен так жазыңыз — сүрөттөн толук окулбай жатат.

5-мисалдын шартын сүрөттөн толук окуй албай жатам: көрүнгөнү \(v=0{,}6\) км/мин жана \(0{,}02\) деген сандар гана, ал эми эмне табылары (күчпү, кубаттуулукпу, массабы) так эмес. Ошондуктан сандарды болжоп жазбайын.

Шартты текст менен ушундай жазып бериңиз:

1. \(0{,}6\) км/мин — бул эмне: машинанын/трактордун ылдамдыгыбы?
2. \(0{,}02\) — сүрүлүү коэффициентиби, же башка чоңдукпу?
3. Массасы берилгенби (канча кг же т)?
4. Эмнени табуу керек: күчтүбү, кубаттуулуктубу, жумуштубу?

Эгер ал «кубаттуулук — ылдамдык» темасындагы маселе болсо, негизги формула мындай:

\[ P=F\cdot v \]

Ылдамдыкты м/с га айландыруу керек:

\[ 0{,}6\ \frac{\text{км}}{\text{мин}}=\frac{600\ \text{м}}{60\ \text{с}}=10\ \text{м/с} \]

Ал эми \(0{,}02\) сүрүлүү коэффициенти болсо, тартылуу күчү:

\[ F=\mu m g=0{,}02\cdot m\cdot 9{,}8 \]

Демек сандарды так билгенде эле акыркы жоопту чыгара алам. Шартты жазыңыз — ошол замат толук чыгарып берейин.