Тест по теме: «Дифференциальное исчисление», вариант № 3. №1 Производная функции y = cos x · ln x имеет вид …

Кратко по номерам

1. вариант 1
2. 1 → \(4+e^x\); 2 → \(7+e^x\); 3 → \(7e^x\)
3. \(y'(0)=0\), \(y'(1)=-2\), \(y'(2)=20\)
4. вариант 1
5. вариант 4
6. вариант 3
7. вариант 4

1. \(y=\cos x\cdot \ln x\)

Используем правило произведения: \[ (uv)'=u'v+uv'. \] Здесь \(u=\cos x\), \(v=\ln x\), поэтому \[ u'=-\sin x,\qquad v'=\frac{1}{x}. \] Получаем: \[ y'=-\sin x\ln x+\cos x\cdot \frac{1}{x} =-\sin x\ln x+\frac{\cos x}{x}. \] Это вариант 1.

2. Соответствие функций и производных

Производная суммы равна сумме производных, а производная постоянной равна нулю: \[ (3+4x+e^x)'=4+e^x, \] \[ (7x+e^x)'=7+e^x, \] \[ (7e^x-3)'=7e^x. \] Поэтому:

• 1 → \(4+e^x\);
• 2 → \(7+e^x\);
• 3 → \(7e^x\).

3. \(y=x^4-3x^2+6\)

Сначала находим производную: \[ y'=4x^3-6x. \] Теперь подставляем точки: \[ y'(0)=0, \] \[ y'(1)=4\cdot 1^3-6\cdot 1=4-6=-2, \] \[ y'(2)=4\cdot 2^3-6\cdot 2=32-12=20. \] Значит: \[ 1\to 0,\qquad 2\to -2,\qquad 3\to 20. \]

4. \(y=\sin 4x\)

Это сложная функция: сначала производная синуса, затем производная внутреннего выражения \(4x\): \[ y'=\cos 4x\cdot 4=4\cos 4x. \] Ответ — вариант 1.

5. Вторая производная \(y=4x^3-8x^2+4x+2\)

Первую производную находим по правилу степени: \[ y'=12x^2-16x+4. \] Дифференцируем ещё раз: \[ y''=24x-16. \] Ответ — вариант 4.
Вариант 1 — это первая производная, а не вторая.

6. Угловой коэффициент касательной

Угловой коэффициент касательной в точке \(x_0\) равен значению производной: \[ k=y'(x_0). \] Находим производную: \[ y'=-2-9x^2. \] При \(x_0=1\): \[ y'(1)=-2-9\cdot 1^2=-11. \] Ответ — вариант 3.
Вариант 1 — это формула производной, а не её значение в точке.

7. Скорость движения

Скорость — это производная координаты по времени: \[ v(t)=S'(t). \] \[ S(t)=6t^3+4t-10, \] \[ v(t)=18t^2+4. \] При \(t=3\): \[ v(3)=18\cdot 9+4=162+4=166. \] Ответ — вариант 4.

Что важно запомнить:

• для произведения функций используй \((uv)'=u'v+uv'\);
• для сложной функции — цепное правило;
• вторая производная — это производная от первой;
• касательная: \(k=y'(x_0)\);
• скорость: \(v(t)=S'(t)\).