Тест по теме: «Дифференциальное исчисление», вариант № 4
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Тест по теме: «Дифференциальное исчисление», вариант № 4
№1 Производная функции \(y=x^{5}e^{x}\) имеет вид ...
- \(y'=5x^{4}e^{x}\)
- \(y'=5x^{4}e^{x}+x^{5}e^{x}\)
- \(y'=5x^{4}+e^{x}\)
- \(y'=5x^{4}e^{x-1}\)
№2 Установите соответствие между функциями и их производными
- \(f(x)=4x+5\cos x\)
- \(f(x)=x^{4}+5\sin x\)
- \(f(x)=4+5\cos x\) □ \(f'(x)=-5\sin x\) □ \(f'(x)=4x^{3}+5\cos x\) □ \(f'(x)=4-5\sin x\)
№3 Дана функция \(y=x^{2}-x^{3}-8\). Установите соответствие [обрезано]
Кратко: №1 — вариант 2; №2 — 1 → 3, 2 → 2, 3 → 1.
№3 по фото не решается полностью: после слов «Установите соответствие» кадр обрывается, вариантов не видно.
№1.
Производную произведения ищем по правилу
\[
(uv)'=u'v+uv'.
\]
Здесь \(u=x^5\), \(v=e^x\):
\[
y'=(x^5)'e^x+x^5(e^x)'=5x^4e^x+x^5e^x.
\]
Это можно записать как
\[
y'=x^4e^x(x+5).
\]
Правильный вариант — 2.
№2.
Используем табличные производные:
\[
(x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x.
\]
\(f(x)=4x+5\cos x\): \[ f'(x)=4-5\sin x \] — это третий вариант.
\(f(x)=x^4+5\sin x\): \[ f'(x)=4x^3+5\cos x \] — это второй вариант.
\(f(x)=4+5\cos x\): \[ f'(x)=-5\sin x \] — это первый вариант.
Значит: 1 — 3, 2 — 2, 3 — 1.
Ключевой принцип: сначала смотри, из каких частей состоит функция — сумма, произведение или сложная функция, — и применяй соответствующее правило дифференцирования.
Обсуждение
2 сообщенияЭто продолжение того же теста. На новом снимке теперь читается №3, поэтому уточняю прошлый ответ. В №4 видны только условие и нет вариантов ответа.
№1 — вариант 2. \[ y'=(x^5)'e^x+x^5(e^x)'=5x^4e^x+x^5e^x. \] Можно записать как \(x^4e^x(x+5)\).
№2 — 1 → 3, 2 → 2, 3 → 1. \[ (4x+5\cos x)'=4-5\sin x; \] \[ (x^4+5\sin x)'=4x^3+5\cos x; \] \[ (4+5\cos x)'=-5\sin x. \]
№3.
\[
y=x^2-x^3-8,
\qquad y'=2x-3x^2.
\]
Тогда:
\[
y'(1)=2-3=-1;
\]
\[
y'(2)=4-12=-8;
\]
\[
y'(3)=6-27=-21.
\]
Соответствие: 1 → −1, 2 → −8, 3 → −21.
Если значения в бланке идут сверху вниз как −21, −8, −1, то для 1-го пункта выбираем третье значение, для 2-го — второе, для 3-го — первое.
№4. \[ y=\operatorname{tg}(6-2x). \] Используем производную сложной функции: \[ y'=\frac{1}{\cos^2(6-2x)}\cdot(6-2x)' =-\frac{2}{\cos^2(6-2x)}. \]
Коротко о правилах: в №1 применяется производная произведения, в №2 — табличные производные, в №3 — производная многочлена, в №4 — производная сложной функции. Если нужен номер варианта в №4, пришли нижнюю часть фотографии — сами варианты обрезаны.
