дано и решение

Question

дано и решение

Расшифровка фото нейросетью:
Задача. Определите массу Солнца, если среднее расстояние от Земли до Солнца составляет 1,5 · 10¹¹ м, а продолжительность года на Земле равна [обрезано]

[Рисунок: серый прямоугольник, в левой части видно небольшое светлое шарообразное тело]

Answer

Краткий ответ: масса Солнца $M_\odot \approx 2{,}0\cdot10^{30}$ кг.

На слайде строка обрывается на слове «равна» — числа не видно. Беру стандартное значение $T = 365$ сут $=3{,}15\cdot10^{7}$ с; если в вашем варианте другое $T$, ответ пересчитывается по $M \propto \dfrac{1}{T^{2}}$.

Дано:
$$
r=1{,}5\cdot10^{11}\ \text{м},\quad T\approx 3{,}15\cdot10^{7}\ \text{с},\quad G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}
$$
Найти $M_\odot$ — ?

Решение

1. Считаем, что Земля массой $m$ движется вокруг Солнца по окружности радиуса $r$ с постоянной скоростью. Единственная сила — гравитационное притяжение, она и сообщает центростремительное ускорение:
$$
\frac{G M_\odot m}{r^{2}}=\frac{m v^{2}}{r}.
$$

2. Скорость связана с периодом (годом): $v=\dfrac{2\pi r}{T}$, поэтому:
$$
\frac{G M_\odot}{r^{2}}=\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}}.
$$

3. Выражаем массу Солнца (масса Земли $m$ сократилась — это и есть главная «хитрость»: по орбите спутника находят массу центрального тела, а не наоборот):
$$
M_\odot=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{G T^{2}}.
$$

4. Подставляем числа. Сначала числитель:
$$
4\pi^{2}r^{3}\approx 39{,}48\cdot\left(1{,}5\cdot10^{11}\right)^{3}=39{,}48\cdot3{,}375\cdot10^{33}\approx1{,}33\cdot10^{35}.
$$
Знаменатель:
$$
G T^{2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\left(3{,}15\cdot10^{7}\right)^{2}\approx6{,}67\cdot10^{-11}\cdot9{,}92\cdot10^{14}\approx6{,}6\cdot10^{4}.
$$
$$
M_\odot=\frac{1{,}33\cdot10^{35}}{6{,}6\cdot10^{4}}\approx2{,}0\cdot10^{30}\ \text{кг}.
$$

Проверка

Орбитальная скорость Земли: $v=\dfrac{2\pi r}{T}\approx\dfrac{9{,}42\cdot10^{11}}{3{,}15\cdot10^{7}}\approx3{,}0\cdot10^{4}$ м/с $=30$ км/с — совпадает с известным значением.

Ускорение: $a=\dfrac{v^{2}}{r}\approx6\cdot10^{-3}$ м/с², и $\dfrac{G M_\odot}{r^{2}}\approx\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot2\cdot10^{30}}{2{,}25\cdot10^{22}}\approx6\cdot10^{-3}$ м/с² — сходится.

Табличное значение $1{,}99\cdot10^{30}$ кг, то есть порядок и цифры мы получили верные.

Главная идея для похожих задач: гравитационная сила играет роль центростремительной, поэтому для любого тела на круговой орбите $M_{\text{центр}}=\dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{G T^{2}}$. По этой же формуле по движению Луны ($r\approx3{,}84\cdot10^{8}$ м, $T\approx27{,}3$ сут) находят массу Земли.

дано и решение

Обсуждение