1. При изменении силы тока в электромагните с 2,9 до 9,2 А энергия магнитного поля изменилась на 12,1 Дж. Найти индуктивность электромагнита.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Достаточный уровень
- При изменении силы тока в электромагните с 2,9 до 9,2 А энергия магнитного поля изменилась на 12,1 Дж. Найти индуктивность электромагнита.
- При изменении силы тока в катушке, индуктивность которой 0,11 Гн, в 5,13 раза энергия магнитного поля изменилась на 16,2 Дж. Найти начальные значения энергии и силы тока.
- Замкнутый соленоид с железным сердечником длиной 150 см и сечением 20 см² содержит 1200 витков. Определить энергию магнитного поля соленоида, если по нему проходит ток 1 А. Магнитная проницаемость железа 1400.
- Обмотка электромагнита имеет индуктивность 0,5 Гн, сопротивление 15 Ом и находится под постоянным напряжением. Определить время, в течение которого в обмотке выделится количество теплоты, равное энергии магнитного поля в сердечнике электромагнита.
- Соленоид длиной 50 см и диаметром 0,8 см имеет 20 000 витков медного провода и находится под постоянным напряжением. Определить время, в течение которого в обмотке соленоида выделится количество теплоты, равное энергии магнитного поля в соленоиде.
- Короткозамкнутая катушка, состоящая из 1000 витков, помещена в магнитное поле, линии индукции которого направлены вдоль оси катушки. Индукция магнитного поля меняется со скоростью \(5 \times 10^{-3}\) Тл/с. Площадь поперечного сечения катушки 40 см², сопротивление катушки 160 Ом. Найдите мощность тепловых потерь.
На изображении шесть задач — решаю все.
Краткие ответы
- \(L\approx0{,}32\) Гн.
- Если энергия возросла в \(5{,}13\) раза: \(W_1\approx3{,}9\) Дж, \(I_1\approx8{,}4\) А; конечные \(W_2\approx20{,}1\) Дж, \(I_2\approx19{,}1\) А.
Если энергия уменьшалась, начальные значения будут \(W_1\approx20{,}1\) Дж, \(I_1\approx19{,}1\) А. - \(W\approx1{,}7\) Дж.
- \(t\approx1{,}7\cdot10^{-2}\) с \(=17\) мс.
- При плотной однослойной намотке \(t\approx1{,}5\cdot10^{-6}\) с \(=1{,}5\) мкс.
- \(P\approx2{,}5\cdot10^{-6}\) Вт \(=2{,}5\) мкВт.
Ключевые шаги
Энергия магнитного поля: \[ W=\frac{LI^2}{2},\qquad \Delta W=\frac L2\left(I_2^2-I_1^2\right). \] Отсюда \[ L=\frac{2\Delta W}{I_2^2-I_1^2} =\frac{2\cdot12{,}1}{9{,}2^2-2{,}9^2}\approx0{,}32\ \text{Гн}. \]
При увеличении энергии в \(5{,}13\) раза: \[ W_2=5{,}13W_1,\qquad W_2-W_1=16{,}2\ \text{Дж}. \] Тогда \[ W_1=\frac{16{,}2}{5{,}13-1}\approx3{,}92\ \text{Дж}, \] \[ I_1=\sqrt{\frac{2W_1}{L}} =\sqrt{\frac{2\cdot3{,}92}{0{,}11}}\approx8{,}45\ \text{А}. \]
Индуктивность соленоида с сердечником: \[ L=\frac{\mu_0\mu N^2S}{l}. \] Здесь \(S=20\ \text{см}^2=2{,}0\cdot10^{-3}\ \text{м}^2\), \(l=1{,}5\) м. Получается \(L\approx3{,}38\) Гн, поэтому \[ W=\frac{LI^2}{2}\approx\frac{3{,}38\cdot1^2}{2}\approx1{,}69\ \text{Дж}. \]
При постоянном напряжении установившийся ток \(I=U/R\). Теплота \(Q=I^2Rt\), энергия поля \(W=LI^2/2\). Приравниваем: \[ I^2Rt=\frac{LI^2}{2}\quad\Rightarrow\quad t=\frac{L}{2R}. \] \[ t=\frac{0{,}5}{2\cdot15}\approx1{,}67\cdot10^{-2}\ \text{с}. \]
Здесь используется та же формула \(t=\frac{L}{2R}\). При плотной намотке диаметр провода приближённо равен \(l/N\), откуда \(R\approx1{,}7\cdot10^4\) Ом, а \(L\approx5{,}05\cdot10^{-2}\) Гн. Поэтому \[ t\approx\frac{5{,}05\cdot10^{-2}}{2\cdot1{,}7\cdot10^4}\approx1{,}5\cdot10^{-6}\ \text{с}. \] Если намотка не плотная, в условии не хватает диаметра провода.
ЭДС индукции: \[ \mathcal E=NS\frac{\Delta B}{\Delta t}. \] Тогда \[ P=\frac{\mathcal E^2}{R} =\frac{\left(1000\cdot4\cdot10^{-3}\cdot5\cdot10^{-3}\right)^2}{160} \approx2{,}5\cdot10^{-6}\ \text{Вт}. \]
Общий принцип: в задачах на магнитное поле почти всегда работает \(W=\dfrac{LI^2}{2}\), а равенство теплоты и энергии поля даёт \(t=\dfrac{L}{2R}\).
Обсуждение
3 сообщенияРеши через дано решение
Оформляю по школьной схеме: Дано — СИ — Решение — Ответ. В задаче 2 отдельно отмечен случай, если энергия не возрастала, а убывала.
1
Дано:
\[
\Delta W=12{,}1\ \text{Дж},\qquad I_1=2{,}9\ \text{А},\qquad I_2=9{,}2\ \text{А}.
\]
Найти: \(L\).
СИ: все величины уже в СИ.
Решение:
Энергия магнитного поля:
\[
W=\frac{LI^2}{2}.
\]
Тогда изменение энергии:
\[
\Delta W=\frac{L}{2}\left(I_2^2-I_1^2\right).
\]
Отсюда:
\[
L=\frac{2\Delta W}{I_2^2-I_1^2}
=\frac{2\cdot12{,}1}{9{,}2^2-2{,}9^2}.
\]
Считаем:
\[
L=\frac{24{,}2}{84{,}64-8{,}41}
=\frac{24{,}2}{76{,}23}\approx0{,}32\ \text{Гн}.
\]
Ответ:
\[
L\approx0{,}32\ \text{Гн}.
\]
2
Дано:
\[
L=0{,}11\ \text{Гн},\qquad \Delta W=16{,}2\ \text{Дж},\qquad \frac{W_2}{W_1}=5{,}13.
\]
Найти: \(W_1,\ W_2,\ I_1,\ I_2\).
СИ: все величины уже в СИ.
Решение:
Пусть энергия увеличилась в \(5{,}13\) раза:
\[
W_2=5{,}13W_1.
\]
По условию:
\[
W_2-W_1=16{,}2.
\]
Тогда:
\[
5{,}13W_1-W_1=16{,}2,
\]
\[
4{,}13W_1=16{,}2,
\]
\[
W_1=\frac{16{,}2}{4{,}13}\approx3{,}92\ \text{Дж}.
\]
Следовательно:
\[
W_2=W_1+16{,}2\approx20{,}12\ \text{Дж}.
\]
Сила тока: \[ W=\frac{LI^2}{2}\quad\Rightarrow\quad I=\sqrt{\frac{2W}{L}}. \] Тогда: \[ I_1=\sqrt{\frac{2\cdot3{,}92}{0{,}11}} \approx8{,}4\ \text{А}, \] \[ I_2=\sqrt{\frac{2\cdot20{,}12}{0{,}11}} \approx19{,}1\ \text{А}. \]
Ответ:
\[
W_1\approx3{,}9\ \text{Дж},\qquad I_1\approx8{,}4\ \text{А},
\]
\[
W_2\approx20{,}1\ \text{Дж},\qquad I_2\approx19{,}1\ \text{А}.
\]
Если в условии сказано, что энергия уменьшилась, то начальные и конечные значения меняются местами: \[ W_1\approx20{,}1\ \text{Дж},\quad I_1\approx19{,}1\ \text{А}, \] \[ W_2\approx3{,}9\ \text{Дж},\quad I_2\approx8{,}4\ \text{А}. \]
3
Дано:
\[
S=20\ \text{см}^2,\qquad l=1{,}5\ \text{м},\qquad I=1\ \text{А}.
\]
Для данного соленоида по условию:
\[
L\approx3{,}38\ \text{Гн}.
\]
Найти: \(W\).
СИ:
\[
S=20\ \text{см}^2=20\cdot10^{-4}\ \text{м}^2=2{,}0\cdot10^{-3}\ \text{м}^2.
\]
Решение:
Энергия магнитного поля:
\[
W=\frac{LI^2}{2}.
\]
Подставляем:
\[
W\approx\frac{3{,}38\cdot1^2}{2}\approx1{,}69\ \text{Дж}.
\]
Можно также записать индуктивность соленоида: \[ L=\mu_0\mu\frac{N^2S}{l}. \]
Ответ:
\[
W\approx1{,}7\ \text{Дж}.
\]
4
Дано:
\[
L=0{,}5\ \text{Гн},\qquad R=15\ \text{Ом}.
\]
Напряжение постоянно, ток установившийся:
\[
I=\frac{U}{R}.
\]
Найти: \(t\), за которое в резисторе выделится теплота, равная энергии магнитного поля катушки.
СИ: все величины уже в СИ.
Решение:
Теплота в резисторе:
\[
Q=I^2Rt.
\]
Энергия магнитного поля катушки:
\[
W=\frac{LI^2}{2}.
\]
По условию:
\[
Q=W.
\]
Тогда:
\[
I^2Rt=\frac{LI^2}{2}.
\]
Сокращаем \(I^2\):
\[
Rt=\frac{L}{2}.
\]
Отсюда:
\[
t=\frac{L}{2R}.
\]
Подставляем:
\[
t=\frac{0{,}5}{2\cdot15}
=\frac{0{,}5}{30}
\approx1{,}67\cdot10^{-2}\ \text{с}.
\]
В миллисекундах: \[ t\approx17\ \text{мс}. \]
Ответ:
\[
t\approx1{,}7\cdot10^{-2}\ \text{с}\approx17\ \text{мс}.
\]
5
Дано:
Для плотной однослойной намотки по расчёту из условия:
\[
L\approx5{,}05\cdot10^{-2}\ \text{Гн},
\]
\[
R\approx1{,}7\cdot10^4\ \text{Ом}.
\]
Найти: \(t\).
Решение:
Используем ту же формулу:
\[
t=\frac{L}{2R}.
\]
Подставляем:
\[
t\approx\frac{5{,}05\cdot10^{-2}}{2\cdot1{,}7\cdot10^4}.
\]
Считаем:
\[
t\approx\frac{5{,}05\cdot10^{-2}}{3{,}4\cdot10^4}
\approx1{,}5\cdot10^{-6}\ \text{с}.
\]
Ответ:
\[
t\approx1{,}5\cdot10^{-6}\ \text{с}\approx1{,}5\ \text{мкс}.
\]
6
Дано:
\[
N=1000,\qquad S=4\cdot10^{-3}\ \text{м}^2,
\]
\[
\frac{\Delta B}{\Delta t}=5\cdot10^{-3}\ \text{Тл/с},
\]
\[
R=160\ \text{Ом}.
\]
Найти: \(P\).
СИ: все величины уже в СИ.
Решение:
ЭДС индукции:
\[
\mathcal E=NS\frac{\Delta B}{\Delta t}.
\]
Подставляем:
\[
\mathcal E=1000\cdot4\cdot10^{-3}\cdot5\cdot10^{-3}.
\]
\[
\mathcal E=0{,}02\ \text{В}.
\]
Мощность:
\[
P=\frac{\mathcal E^2}{R}.
\]
Тогда:
\[
P=\frac{(0{,}02)^2}{160}
=\frac{4\cdot10^{-4}}{160}
=2{,}5\cdot10^{-6}\ \text{Вт}.
\]
Ответ:
\[
P\approx2{,}5\cdot10^{-6}\ \text{Вт}\approx2{,}5\ \text{мкВт}.
\]
