Вариант 5.

Понял: нужно решить всё, что на листе, а не один вариант. Но сами условия заданий до меня не дошли — в сообщении нет ни текста, ни читаемого изображения, поэтому решать пока нечего.

Пришли, пожалуйста, фото листа целиком так, чтобы были видны номера и условия (можно несколькими фото подряд). Я решу их по порядку: 5, 6, 7… — с краткими шагами, чтобы было понятно, как получается ответ.

Ниже — решения всех вариантов с листа (5–40). Для каждого пункта даю всё, что нужно для графика и для ответа:

• а) — две точки, через которые проходит прямая, и её нуль (где \(y=0\);
• б) — направление ветвей, координаты вершины, нули параболы, значения на концах отрезка и наименьшее/наибольшее значение на этом отрезке.

Как это получается (пример — вариант 5)

а) \(y=3x-1\). Берём два значения \(x\): при \(x=0\) получаем \(y=-1\), при \(x=1\) — \(y=2\). Через \((0;-1)\) и \((1;2)\) проводим прямую. Нуль: \(3x-1=0 \Rightarrow x=\frac13\).

б) \(y=x^2-2x+4\) на \([-1;4]\). Ветви вверх (\(a=1>0\)). Вершина: \(x_0=-\frac{b}{2a}=1\), \(y_0=1-2+4=3\). Дискриминант \(D=4-16<0\) — нулей нет. На концах: \(y(-1)=7\), \(y(4)=12\). Значит на отрезке \(y_{\min}=3\) (при \(x=1\)), \(y_{\max}=12\) (при \(x=4\)). Строим только кусок параболы над \([-1;4]\).

Таблица по вариантам 5–40

Если в вашем задании пункт а) тоже нужно строить только на каком-то отрезке или требуется что-то ещё (например, только эскиз графика без вычислений) — скажи, и я переоформлю под точное требование учителя.

Хорошо, давай сделаем разбор «по шагам». Сначала — общий алгоритм, по которому решается любой вариант, потом — полностью расписанный пример (вариант 5) и разбор двух «хитрых» случаев (вершина вне отрезка, двойной корень).

Общий алгоритм для каждого варианта

Пункт а) — прямая \(y=kx+b\)

1. Это линейная функция, её график — прямая, поэтому хватает двух точек (третью берём для проверки).
2. Берём удобные \(x\), например \(x=0\) (даёт \(b\)) и \(x=1\) (даёт \(k+b\)).
3. Нуль функции — решаем \(kx+b=0\); это точка пересечения с осью \(Ox\).
4. Точка пересечения с \(Oy\) — это \((0;b)\).
5. Если \(k>0\) — прямая возрастает, если \(k<0\) — убывает.

Пункт б) — парабола \(y=ax^{2}+bx+c\) на отрезке

1. Знак \(a\): \(a>0\) — ветви вверх, \(a<0\) — вниз.
2. Вершина: \[x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=y(x_0).\]
3. Нули: \(D=b^{2}-4ac\). Если \(D>0\) — две точки пересечения с \(Ox\), \(D=0\) — одна (касание), \(D<0\) — пересечений нет.
4. Таблица значений — 5–7 точек, симметричных относительно \(x_0\).
5. Наибольшее и наименьшее значение на отрезке: если вершина попала внутрь отрезка, то один из экстремумов — в вершине; второй ищем сравнением значений на концах отрезка.

Подробно: вариант 5

а) \(y=3x-1\)

\[ \begin{array}{c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2\\ \hline y & -1 & 2 & 5 \end{array} \]

Точки \((0;-1)\) и \((1;2)\) соединяем прямой (третья точка \((2;5)\) должна лечь на неё же). Нуль: \(3x-1=0\), откуда \(x=\frac13\approx0{,}33\) — прямая пересекает \(Ox\) в точке \(\left(\frac13;0\right)\), а \(Oy\) — в точке \((0;-1)\). Так как \(k=3>0\), функция возрастает.

б) \(y=x^{2}-2x+4\) на \([-1;4]\)

Ветви вверх, \(a=1>0\). Вершина: \(x_0=\frac{2}{2}=1\), \(y_0=1-2+4=3\), то есть \((1;3)\), ось симметрии \(x=1\). Дискриминант \(D=4-16=-12<0\) — парабола не пересекает \(Ox\) и лежит выше неё.

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline y & 7 & 4 & 3 & 4 & 7 & 12 \end{array} \]

Вершина \(x=1\) лежит внутри отрезка, значит наименьшее значение — в вершине: \(y_{\min}=3\). Для наибольшего сравниваем концы: \(y(-1)=7\), \(y(4)=12\), поэтому \(y_{\max}=12\) при \(x=4\). Строим только кусок параболы от \(x=-1\) до \(x=4\): он начинается в точке \((-1;7)\) и заканчивается в \((4;12)\).

Два особых случая

Вершина вне отрезка (вариант 9). По таблице вершина \((6;18)\) — правая часть, а отрезок \([-1;4]\) целиком лежит левее вершины, и там функция убывает. Значит наибольшее значение — на левом конце: \(y(-1)=-6{,}5\), наименьшее — на правом: \(y(4)=16\). Сравнивать с \(y_0=18\) не нужно: в вершину мы не попадаем.

Двойной корень (вариант 15). Нулей два совпавших — \(x=1\), то есть парабола только касается оси \(Ox\) в точке \((1;0)\), и это же её вершина. Значения на концах равны: \(y(-2)=y(4)=9\). Тогда \(y_{\min}=0\) в вершине, \(y_{\max}=9\) на обоих концах.

Скажи номера вариантов (например, «12, 23 и 37» или «все с 5 по 15») — распишу каждый в таком же виде: таблица точек, вершина, нули, концы отрезка и что именно откладывать на графике.