Тест по теме: «Дифференциальное исчисление», вариант № 3

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Тест по теме: «Дифференциальное исчисление», вариант № 3

№1 Производная функции $y=\cos x\cdot\ln x$ имеет вид …

1. $y'=-\sin x\ln x+\frac{\cos x}{x}$

2. $y'=-\frac{\sin x}{x}$

3. $y'=-\sin x\ln x$

4. $y'=-\sin x+\frac{1}{x}$

№2 Установите соответствие между функциями и их производными

1. $f(x)=3+4x+e^x$

2. $f(x)=7x+e^x$

3. $f(x)=7e^x-3$
□ $f'(x)=4+e^x$
□ $f'(x)=7+e^x$
□ $f'(x)=7e^x$

№3 Дана функция $y=x^4-3x^2+6$. Установите соответствие между производными функции в соответствующих точках и их значениями

1. $y'(0)$

2. $y'(1)$

3. $y'(2)$
□ 20
□ -2
□ 0

№4 Производная функции $y=\sin 4x$ имеет вид….

1. $4\cos 4x$

2. $4\cos x$

3. $\cos 4x$

4. $-4\cos 4x$

№5 Вторая производная $y''(x)$ функции $y(x)=4x^3-8x^2+4x+2$ имеет вид...

1. $12x^2-16x+4$

2. 24

3. 6

4. $24x-16$

№6 Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=7-2x-3x^3$ в точке $x_0=1$ равен ...

1. $-2-9x^2$

2. -5

3. -11

4. 11

№7 Точка движется прямолинейно по закону $S(t)=6t^3+4t-10$. Найти скорость точки в момент времени $t=3$ с.

1. 170

2. 160

3. 164

4. 166

Answer

Краткие ответы

№ |
Ответ |

1 |
1) $y'=-\sin x\ln x+\dfrac{\cos x}{x}$ |

2 |
1 → $4+e^x$; 2 → $7+e^x$; 3 → $7e^x$ |

3 |
1 → $0$; 2 → $-2$; 3 → $20$ |

4 |
1) $4\cos 4x$ |

5 |
4) $24x-16$ |

6 |
3) $-11$ |

7 |
4) $166$ |

Как решать

1. №1. Здесь произведение, поэтому используем правило
$$
(uv)'=u'v+uv'.
$$
Берём $u=\cos x$, $v=\ln x$:
$$
y'=(-\sin x)\ln x+\cos x\cdot\frac1x
=-\sin x\ln x+\frac{\cos x}{x}.
$$
Ответ — вариант 1.

2. №2. Производная суммы равна сумме производных, а производная $e^x$ — это $e^x$:
$$
(3+4x+e^x)'=4+e^x,
$$
$$
(7x+e^x)'=7+e^x,
$$
$$
(7e^x-3)'=7e^x.
$$

3. №3. Сначала находим производную:
$$
y'=4x^3-6x.
$$
Подставляем точки:
$$
y'(0)=0,
$$
$$
y'(1)=4-6=-2,
$$
$$
y'(2)=4\cdot 8-6\cdot 2=32-12=20.
$$

4. №4. Это сложная функция:
$$
(\sin 4x)'=\cos 4x\cdot 4=4\cos 4x.
$$
Ответ — 1.

5. №5. Сначала первая производная:
$$
y'=12x^2-16x+4.
$$
Потом вторая:
$$
y''=24x-16.
$$
Ответ — 4. Вариант 1 — это только первая производная.

6. №6. Угловой коэффициент касательной равен производной в точке $x_0$:
$$
y'=-2-9x^2.
$$
При $x_0=1$:
$$
y'(1)=-2-9\cdot 1^2=-11.
$$
Ответ — 3.

7. №7. Скорость — производная пути:
$$
v(t)=S'(t)=18t^2+4.
$$
При $t=3$:
$$
v(3)=18\cdot 9+4=162+4=166.
$$
Ответ — 4.
Полезно заметить: $S(3)=164$, но это координата, а не скорость.

№	Ответ
1	1) \(y'=-\sin x\ln x+\dfrac{\cos x}{x}\)
2	1 → \(4+e^x\); 2 → \(7+e^x\); 3 → \(7e^x\)
3	1 → \(0\); 2 → \(-2\); 3 → \(20\)
4	1) \(4\cos 4x\)
5	4) \(24x-16\)
6	3) \(-11\)
7	4) \(166\)