Тест по теме: «Дифференциальное исчисление», вариант № 3. №1 Производная функции y = cos x · ln x имеет вид …

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Тест по теме: «Дифференциальное исчисление», вариант № 3

№1 Производная функции $y = \cos x \cdot \ln x$ имеет вид …

1. $y' = -\sin x \ln x + \frac{\cos x}{x}$ 3) $y' = -\sin x \ln x$

2. $y' = -\frac{\sin x}{x}$ 4) $y' = -\sin x + \frac{1}{x}$

№2 Установите соответствие между функциями и их производными

1. $f(x)=3+4x+e^x$

2. $f(x)=7x+e^x$

3. $f(x)=7e^x-3$
□ $f'(x)=4+e^x$
□ $f'(x)=7+e^x$
□ $f'(x)=7e^x$

№3 Дана функция $y = x^4 - 3x^2 + 6$. Установите соответствие между производными функции в соответствующих точках и их значениями

1. $y'(0)$ □ 20

2. $y'(1)$ □ -2

3. $y'(2)$ □ 0

№4 Производная функции $y = \sin 4x$ имеет вид....

1. $4\cos 4x$ 3) $\cos 4x$

2. $4\cos x$ 4) $-4\cos 4x$

№5 Вторая производная $y''(x)$ функции $y(x) = 4x^3 - 8x^2 + 4x + 2$ имеет вид...

1. $12x^2 - 16x + 4$ 3) 6

2. 24 4) $24x - 16$

№6 Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = 7 - 2x - 3x^3$ в точке $x_0 = 1$ равен ...

1. $-2-9x^2$ 3) -11

2. -5 4) 11

№7 Точка движется прямолинейно по закону $S(t) = 6t^3 + 4t - 10$. Найти скорость точки в момент времени $t = 3$ с.

1. 170 3) 164

2. 160 4) 166

Answer

Кратко

№1 — 1)
№2 — 1 → $4+e^x$, 2 → $7+e^x$, 3 → $7e^x$
№3 — 1 → 0, 2 → $-2$, 3 → 20
№4 — 1)
№5 — 4)
№6 — 3)
№7 — 4)

Почему так

1. Производная произведения:
$$
(uv)'=u'v+uv'.
$$
Для $y=\cos x\cdot \ln x$:
$$
y'=-\sin x\ln x+\cos x\cdot \frac1x
=-\sin x\ln x+\frac{\cos x}{x}.
$$
Подходит вариант 1.

2. Производная суммы и $e^x$:
$$
(3+4x+e^x)'=4+e^x,
$$
$$
(7x+e^x)'=7+e^x,
$$
$$
(7e^x-3)'=7e^x.
$$

3. Сначала находим производную:
$$
y'=4x^3-6x.
$$
Тогда:
$$
y'(0)=0,\qquad y'(1)=4-6=-2,\qquad y'(2)=32-12=20.
$$

4. Здесь работает правило сложной функции:
$$
(\sin 4x)'=\cos(4x)\cdot 4=4\cos 4x.
$$
Правильный вариант 1.

5. Берём производную дважды:
$$
y'=12x^2-16x+4,
$$
$$
y''=24x-16.
$$
Вариант 1 — это только первая производная. Ответ: 4.

6. Угловой коэффициент касательной — это значение производной в точке:
$$
y'=-2-9x^2,
$$
$$
y'(1)=-2-9\cdot1^2=-11.
$$
Ответ: 3.

7. Скорость — производная пути по времени:
$$
v(t)=S'(t)=18t^2+4,
$$
$$
v(3)=18\cdot9+4=166.
$$
Ответ: 4.