Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Фото перевёрнуто и мелкое, поэтому уверенно читается только №2 — его решаю полностью. По №1 и №3 нужен более крупный снимок.

№2. Фигура ограничена параболой \(y=x^2\), осью \(Ox\) (\(y=0\)) и прямыми \(x=1\), \(x=3\). На отрезке \([1;3]\) парабола лежит выше оси, значит, площадь считаем интегралом:

\[ S=\int_{1}^{3}x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{1}^{3}=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}=8\frac{2}{3}. \]

Эскиз: часть параболы от точки \((1;1)\) до \((3;9)\), а площадь — под ней до оси \(Ox\) между прямыми \(x=1\) и \(x=3\).

№1а. Если условие такое: \(27^{2/3}+81^{1/2}-8^{1/3}\), то \[ 27^{2/3}=9,\quad 81^{1/2}=9,\quad 8^{1/3}=2, \] \[ 9+9-2=16. \]

№1б и №3 на фото не разобрать: в 1б непонятно, какие числа и степени стоят в числителе и знаменателе, а в №3 не видно само уравнение и начальное условие. Пришли крупный снимок только этих двух строк или напиши их текстом — сразу дорешаю.

Сначала поправка к прошлому ответу: я принял пункт 1а за выражение со степенями — на новом снимке видно, что это интегралы. Исправляю и решаю весь вариант.

Краткие ответы

• 1а) \(3\)
• 1б) \(\sqrt{7}-1\), если нижний предел равен \(-1\)
• 2) \(\frac{26}{3}=8\frac{2}{3}\)
• 3) \(\frac{15\pi}{2}=7{,}5\pi\)

1. Интегралы

а) Сначала первообразная: \(\int\sin\frac{x}{3}\,dx=-3\cos\frac{x}{3}+C\). Проверка: \(\left(-3\cos\frac{x}{3}\right)'=-3\cdot\left(-\sin\frac{x}{3}\right)\cdot\frac{1}{3}=\sin\frac{x}{3}\) — верно.

\[ \int_{-\pi}^{2\pi}\sin\frac{x}{3}\,dx=\left[-3\cos\frac{x}{3}\right]_{-\pi}^{2\pi} =-3\cos\frac{2\pi}{3}+3\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) \] \[ =-3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3. \]

б) Первообразная: \(\int\frac{dx}{\sqrt{2x+3}}=\sqrt{2x+3}+C\), так как \(\left(\sqrt{2x+3}\right)'=\frac{2}{2\sqrt{2x+3}}=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}\).

Если пределы от \(-1\) до \(2\): \[ \int_{-1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{2x+3}}=\left[\sqrt{2x+3}\right]_{-1}^{2}=\sqrt{7}-\sqrt{1}=\sqrt{7}-1\approx1{,}65. \]

Если нижний предел действительно \(-2\), как напечатано, то при \(x<-1{,}5\) под корнем отрицательное число, и такой интеграл в действительных числах не определён. Глянь в своём листке: там \(-1\) или \(-2\)? Если \(-2\) — это опечатка в работе.

2. Площадь фигуры

Фигура ограничена параболой \(y=x^2\), осью \(Ox\) и прямыми \(x=1\), \(x=3\). На \([1;3]\) парабола лежит выше оси, поэтому \[ S=\int_{1}^{3}x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{1}^{3}=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}=8\frac{2}{3}. \]

Рисунок: дуга параболы от точки \((1;1)\) до \((3;9)\), а площадь — под ней до оси \(Ox\) между вертикальными прямыми \(x=1\) и \(x=3\).

3. Объём тела вращения

Вращение вокруг оси \(Ox\), значит \(V=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)\,dx\), где \(f(x)=\sqrt{x}\): \[ V=\pi\int_{1}^{4}\left(\sqrt{x}\right)^2dx=\pi\int_{1}^{4}x\,dx=\pi\left.\frac{x^2}{2}\right|_{1}^{4} =\pi\left(8-\frac{1}{2}\right)=\frac{15\pi}{2}. \]

Что запомнить: в обеих геометрических задачах работает одна схема — сначала записать формулу (\(S=\int f\,dx\) или \(V=\pi\int f^2\,dx\)), затем найти первообразную и подставить пределы по формуле Ньютона–Лейбница.

Держи чистовик. Важно: в 1б я беру нижний предел \(-1\); если в листке стоит \(-2\), то под корнем при \(x<-1{,}5\) получается отрицательное число, и такой интеграл не существует. Тогда этот пункт лучше уточнить.

Ответы: 1а) \(3\); 1б) \(\sqrt{7}-1\); 2) \(\frac{26}{3}\); 3) \(\frac{15\pi}{2}\).

1. Вычислить интегралы

а) \[ \int_{-\pi}^{2\pi}\sin\frac{x}{3}\,dx =\left[-3\cos\frac{x}{3}\right]_{-\pi}^{2\pi} =-3\cos\frac{2\pi}{3}+3\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) \] \[ =\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3. \]

б) \[ \int_{-1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{2x+3}} =\left[\sqrt{2x+3}\right]_{-1}^{2} =\sqrt{7}-1. \]

2. Площадь фигуры

Фигура ограничена параболой \(y=x^2\), осью \(Ox\) и прямыми \(x=1\), \(x=3\). Поэтому \[ S=\int_{1}^{3}x^2\,dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_{1}^{3} =\frac{27}{3}-\frac{1}{3} =\frac{26}{3} =8\frac{2}{3}. \]

3. Объём тела вращения

Вращение вокруг оси \(Ox\), функция \(y=\sqrt{x}\): \[ V=\pi\int_{1}^{4}\left(\sqrt{x}\right)^2dx =\pi\int_{1}^{4}x\,dx =\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{4} =\pi\left(8-\frac{1}{2}\right) =\frac{15\pi}{2}. \]

Ответ: \(1а)\ 3;\quad 1б)\ \sqrt{7}-1;\quad 2)\ \frac{26}{3};\quad 3)\ \frac{15\pi}{2}.\)

Рисунок к №2 — эскиз (масштаб по \(y\) сжат, иначе парабола не влезет в тетрадь):

      y
   9 ─┤              ● A(3; 9)
      │            ╱ │
      │          ╱   │
   4 ─┤       ●(2; 4)│
      │     ╱  ▒▒▒▒  │
      │   ╱  ▒▒▒▒▒▒  │
   1 ─┤ ●(1; 1)▒▒▒▒▒ │
      │ ▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒ │
   0 ─┼─┴─────────────┴─── x
      0 1             3

Как перечертить по шагам:

1. Проведи оси \(Ox\) и \(Oy\), отметь единичные отрезки (по \(y\) можно взять 1 клетка = 2 единицы).
2. Построй точки параболы: \((0;0)\), \((1;1)\), \((2;4)\), \((3;9)\). Нам нужна только дуга от \(x=1\) до \(x=3\) — её и рисуй сплошной, остальную часть параболы можно пунктиром.
3. Проведи вертикальные отрезки: \(x=1\) от \((1;0)\) до \((1;1)\) и \(x=3\) от \((3;0)\) до \((3;9)\).
4. Заштрихуй область под параболой до оси \(Ox\) между этими прямыми (на рисунке — символы ▒).
5. Подпиши на рисунке: \(S=\int_{1}^{3}x^2\,dx=\frac{26}{3}\).

Проверка по рисунку: вся фигура — почти треугольник с основанием \(3\) и высотой \(9\), его площадь \(\frac{3\cdot 9}{2}=13{,}5\). У нас парабола выгнута вниз, поэтому площадь чуть больше — \(8\frac{2}{3}\approx 8{,}67\). Хм, наоборот: \(8{,}67<13{,}5\), и это правильно — парабола идёт ниже прямой, соединяющей \((1;1)\) и \((3;9)\), так что её площадь меньше трапеции. Трапеция дала бы \(\frac{1+9}{2}\cdot 2=10\), а у нас \(8{,}67<10\) — сходится.