3 реши
Сверь числа и знаки с фото.
- Докажите, что функция \(f(x)=4x-\mathrm{tg}\,x\) нечетная
Краткий ответ: функция \(f(x)=4x-\mathrm{tg}x\) нечётная, потому что для всех допустимых \(x\) выполняется \(f(-x)=-f(x)\).
Определение. Функция \(f\) называется нечётной, если:
- её область определения симметрична относительно нуля;
- для каждого \(x\) из области определения \(f(-x)=-f(x)\).
Шаги доказательства
Область определения. Тангенс не определён при \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), где \(k\) — целое. Если \(x\) допустим, то и \(-x\) допустим, то есть область определения симметрична относительно нуля.
Подставляем \(-x\): \[ f(-x)=4(-x)-\mathrm{tg}(-x)=-4x-(-\mathrm{tg}x)=-4x+\mathrm{tg}x. \] Здесь использовано свойство нечётности тангенса: \[ \mathrm{tg}(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\mathrm{tg}x. \]
Сравниваем с \(-f(x)\): \[ -f(x)=-(4x-\mathrm{tg}x)=-4x+\mathrm{tg}x. \] Получили \(f(-x)=-f(x)\).
Вывод: \(f(x)=4x-\mathrm{tg}x\) — нечётная функция.
Проверка. Возьмём \(x=\frac{\pi}{4}\): \[ f\left(\frac{\pi}{4}\right)=4\cdot\frac{\pi}{4}-\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}=\pi-1, \] \[ f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=4\left(-\frac{\pi}{4}\right)-\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\pi+1=-(\pi-1). \] Значения противоположны, как и должно быть. Но проверка на одной точке только подтверждает результат, а доказательством является равенство \(f(-x)=-f(x)\).
Как действовать в похожем задании: сначала проверь симметричность области определения, затем вычисли \(f(-x)\) и преобразуй выражение к виду \(-f(x)\). Полезно помнить: сумма или разность нечётных функций тоже нечётна; \(4x\) и \(\mathrm{tg}x\) — нечётные функции.
Обсуждение
4 сообщения4
Пришли, пожалуйста, условие задания 4 — по номеру я не могу восстановить его из предыдущего сообщения. Можно текстом или фото.
4
В номере 4 на фото два пункта.
Ответ: \[ \cos\left(\arcsin\left(-\frac13\right)\right)=\frac{2\sqrt2}{3}, \] \[ \arccos\left(\cos\frac{6\pi}{5}\right)=\frac{4\pi}{5}. \]
1) \(\cos\left(\arcsin\left(-\frac13\right)\right)\)
Обозначим \[ \alpha=\arcsin\left(-\frac13\right). \] По определению арксинуса: \[ \sin\alpha=-\frac13,\qquad \alpha\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]. \] На этом промежутке косинус неотрицателен, поэтому \[ \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} =\sqrt{1-\frac19} =\sqrt{\frac89} =\frac{2\sqrt2}{3}. \]
2) \(\arccos\left(\cos\frac{6\pi}{5}\right)\)
Нельзя просто «убрать» \(\arccos\) и \(\cos\): равенство \(\arccos(\cos x)=x\) верно только при \(x\in[0;\pi]\).
Угол \(\frac{6\pi}{5}\) больше \(\pi\), поэтому ищем угол из промежутка \([0;\pi]\), у которого такой же косинус: \[ 2\pi-\frac{6\pi}{5}=\frac{4\pi}{5}. \] При этом \[ \cos\frac{4\pi}{5}=\cos\frac{6\pi}{5}. \] Значит, \[ \arccos\left(\cos\frac{6\pi}{5}\right)=\frac{4\pi}{5}. \]
В градусах это \(144^\circ\).
