Реши 19 задание

Картинку я вставить не могу, поэтому вот схема, которую достаточно перечертить от руки:

   D———————————C
   |         ╱ :
   |       N   :
   |     ╱     :
   |   ╱       :
   | M         :
╱  A———————————B

Построение: \(M=\alpha\cap AB\), \(N=\alpha\cap BC\); через \(M\) и \(N\) проходит прямая \(l=\alpha\cap(ABCD)\) — «след» плоскости \(\alpha\). Продолжив \(l\), видим: она выходит из параллелограмма, пересекая продолжение \(AD\) ниже \(A\) и продолжение \(CD\) правее \(C\).

Обоснование (без рисунка оно и было): \(AD\parallel BC\), а \(BC\) пересекает \(\alpha\), значит \(AD\) пересекает \(\alpha\); аналогично \(CD\parallel AB\) и \(AB\) пересекает \(\alpha\), значит \(CD\) пересекает \(\alpha\).

Уточнение: с самими отрезками \(AD\) и \(CD\) плоскость не пересекается — точки лежат на их продолжениях, поэтому в ответе корректно писать «прямые \(AD\) и \(CD\)».

Условия 21-го задания у меня нет — в переписке было только 19-е. Пришли его текстом или фото, и я решу.

Пусть \(l\parallel CD\), \(\alpha=(ABC)\), \(\beta=(ABD)\).

Прямая \(CD\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(C\), так как \(D\notin\alpha\) — треугольники не лежат в одной плоскости. По теореме: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая её пересекает. Значит, \(l\) пересекает \(\alpha\).

Аналогично \(CD\) пересекает плоскость \(\beta\) в точке \(D\). Поэтому \(l\parallel CD\) пересекает и \(\beta\).

Следовательно, любая прямая, параллельная \(CD\), пересекает плоскости данных треугольников. Ч.т.д.

Условия задания 18, пункта б), у меня нет — в переписке были только 19, 21 и вопрос про рисунок. Пришли его текстом или фото, и я решу.

Фото не прикрепилось — я вижу только текст «Смотри 1 фотт», без самого изображения. Пришли его ещё раз, и я решу 18 б).

18 б) Ответ: \(CC_1=12\) см.

Прямые \(BB_1\parallel CC_1\), поэтому точки \(B,B_1,C,C_1\) лежат в одной плоскости, и она пересекает \(\alpha\) по прямой \(AB_1\). Значит, \(C_1\in AB_1\), и треугольники \(ACC_1\) и \(ABB_1\) подобны:

\[ \frac{CC_1}{BB_1}=\frac{AC}{AB}. \]

Так как \(AC:CB=3:2\), то \(AC=\frac{3}{5}AB\), откуда

\[ CC_1=20\cdot\frac{3}{5}=12\text{ см}. \]

(Твоя запись про среднюю линию и \(3{,}5\) см — это пункт а), где \(C\) — середина \(AB\); для б) коэффициент другой.)